§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点一、函数单调性的判定法•观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？•观察结果函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数小于零.f'(x)>0 f'(x)<0设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a, b)内可导.(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少.设函数f (x )在[a ,b ]上连续,在(a , b )内可导.(1)如果在(a ,b )内f '(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上单调增加;(2)如果在(a ,b )内f '(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上单调减少.由拉格朗日中值公式,有f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2-x 1) (x 1<ξ<x 2).因为f '(ξ)>0,x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2-x 1)>0,即f (x 1)<f (x 2),这就证明了函数f (x )在[a ,b ]上单调增加.证明只证(1).在[a ,b ]上任取两点x 1,x 2(x 1<x 2),设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a, b)内可导.(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少.例1讨论函数y=e x-x-1的单调性.解函数y=e x-x-1的定义域为(-∞,∞).y'=e x-1.因为在(-∞,0)内y'<0,所以函数y=e x-x-1在(-∞,0]上单调减少;因为在(0,+∞)内y'>0,所以函数y=e x-x-1在[0,+∞)上单调增加.解函数的定义域为(-∞,+∞).所以函数在[0,+∞)上单调增加.因为x >0时,y '>0,所以函数在(-∞,0] 上单调减少;因为x <0时,y '<0,例2 讨论函数32x y =的单调性.)0(323≠='x x y 设函数f (x )在[a ,b ]上连续,在(a , b )内可导.(1)如果在(a ,b )内f '(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上单调增加;(2)如果在(a ,b )内f '(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上单调减少.x f '(x )f (x )例3确定函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -3的单调区间.解这个函数的定义域为(-∞,+∞).f '(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2),导数为零的点为x 1=1、x 2=2.列表分析:函数f (x )在区间(-∞,1]和[2,+∞)上单调增加,在区间[1,2]上单调减少.(-∞,1) (1,2) (2,+∞)↗↘↗＋－＋y =2x 3-9x 2+12x -3xy 'y 解这个函数的定义域为(-∞,+∞).函数f (x )在区间(-∞,0]和[1,+∞)上单调减少,在区间[0,1]上单调增加.(-∞,0) (0,1) (1,+∞) ↗↘例4确定函数的单调区间.x x y -=3223,113-='xy 驻点x =1,不可导点x =0,↘－－＋说明：一般地,如果f '(x )在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或负)时,那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的.例5讨论函数y =x 3的单调性.解函数的定义域为(-∞,+∞).y '=3x 2 .显然当x =0时,y '=0;当x ≠0时,y '>0.因此函数y =x 3在区间(-∞,0]及[0, +∞)上都是单调增加的.从而函数在整个定义域(-∞,+∞)内是单调增加的.单调增加.证明例6证明: 当时,20π<<x 3tan .3x x x >+,3tan )(3x x x x f --=令221sec )(x x x f --='22tan xx -=时，当20π<<x ,tan x x >.0)(>'x f 连续，在)2,0[)(πx f )2,0[)(π在所以x f 于是时，当20π<<x ,0)0()(=>f x f 即.3tan 3x x x +>因此分析例7证明: 当时,ea b >>.a b b a >证明a b b a >ba ab ln ln >问题化为:,时当e a x >>.ln ln x a a x >,ln ln )(x a a x x f -=令上连续，在),[)(∞+a x f xa a x f -='ln )(,0ln =->a a e 上在所以),[)(∞+a x f 单调增加.于是,时当e a b >>,时当e a x >>,0)()(=>a f b f 即,ln ln b a a b >也即.a b b a >问题:如何研究曲线的弯曲方向?x y o )(x f y =图形上任意弧段位于所张弦的上方x yo )(x f y =图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性定义设f (x )在区间I 上连续,对I 上任意两点x 1,x 2,如果恒有那么称f (x )在I 上的图形是凹的;那么称f (x )在I 上的图形是凸的.如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 2)()()2(2121x f x f x x f +>+,观察与思考:f (x )的图形的凹凸性与f '(x )的单调性的关系.1) f (x )的图形是凹的2) f (x )的图形是凸的f '(x )单调增加;f '(x )单调减少.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内具有二阶导数.若在(a ,b )内f ''(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凹的;若在(a ,b )内f ''(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凸的.例8判断曲线y =x 3的凹凸性.解y '=3x 2,y ''=6x .由y ''=0,得x =0.因为当x <0时,y ''<0,所以曲线在(-∞,0]上是凸的;因为当x >0时,y ''>0,所以曲线在[0,+∞)上是凹的.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内具有二阶导数.若在(a ,b )内f ''(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凹的;若在(a ,b )内f ''(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凸的.拐点连续曲线y =f (x )上凹弧与凸弧的连接点称为该曲线的拐点.拐点•讨论如何确定曲线y =f (x )的拐点？如果(x 0,f (x 0))是拐点, 且f ''(x 0)存在, 问f ''(x 0)=？如何找可能的拐点？32 31x y =',•讨论曲线y =x 4是否有拐点？求曲线3x y =的拐点.例9解二阶导数无零点;当x =0时,二阶导数不存在.因为当x <0时,y ''>0;当x >0时,y ''<0,所以点(0,0)是曲线的拐点.32 92x x y -=''; •如果在x 0的左右两侧f ''(x )异号, 则(x 0,f (x 0))是拐点.虽然y ''(0)=0, 但(0,0)不是拐点.y O xy=x 4例10求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间.解(1)函数y =3x 4-4x 3+1的定义域为(-∞,+∞);(4)列表判断:在区间(-∞,0]和[2/3,+∞)上曲线是凹的;在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.(-∞,0)0(0,2/3)2/3(2/3,+∞)＋－＋00111/27(3)解方程y ''=0, (2)231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ; 得01=x , 322=x ; y ''(x ) y (x ) x •如果在x 0的左右两侧f ''(x )异号, 则(x 0,f (x 0))是拐点.例10求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间.•如果在x 0的左右两侧f ''(x )异号, 则(x 0,f (x 0))是拐点.在区间(-∞,0]和[2/3,+∞)上曲线是凹的;在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.作业习题 P151):3.单号4.(2) (3) (5)8.双号11.x y ''y)1,(--∞)0,1(-1-)1,0(),1(∞+01例求曲线的凹凸区间和拐点.解3229x x y +=,623x x y +=',2234xy -=''二阶导数的零点为x 1=-1,x 2=1,二阶导数不存在的点为x =0.＋＋－－1010000不存在凹区间为(-∞,-1]和[1,+∞),凸区间为[-1,0]和[0,1],拐点为(-1,10)和(1,10).思考:凸区间[-1,0]和[0,1]可否合并为[-1,1]?单调增加.证明例证明: 当时,20π<<x .2tan sin x x x >+,2sec cos )(2-+='x x x f 时，当20π<<x ,1cos 0<<x 连续，在)2,0[)(πx f )2,0[)(π在所以x f 于是时，当20π<<x ,0)0()(=>f x f 即,2tan sin )(x x x x f -+=令,cos cos 2x x >2sec cos )(22-+>'x x x f 0)sec (cos 2≥-=x x .2tan sin x x x >+。