§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法 定理1 设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是)()('00≤≥x f .证 若f为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有()()000≥--x x x f x f 。

令0x x →，即得00≥)('x f 。

反之，若)(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <），应用拉格朗日定理，存在，使得()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。

由此证得f 在I 上为增函数。

定理2 若函数f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是:(1)),(b a x ∈∀有)()('00≤≥x f ;(2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f .推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递减).注1 若函数f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f在),[b a 上亦为(严格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论.注2 如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证)('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。

注意：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。

例如，3x y=的一阶导数23x y ='，除在0=x 点等于零外，在其余的点都大于零，函数在整个区间()+∞∞-,内单调增加。

又例如，31x y =，它的一阶导数3231x除在0=x 点不存在外，在其余的点都大于零，从而函数在整个区间()+∞∞-,内单调增加。

例1 设x x x f -=3)(。

试讨论函数f 的单调区间。

解 由于 ()()1313132-+=-=x x x x f )('因此当⎥⎦⎤⎝⎛-∞-∈31,x 时，0≥)('x f ，f 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3131,x 时，0≤)('x f ，f 当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,31x 时，0≥)('x f ，f 递增。

利用函数的单调性，可以证明一些不等式。

例1 证明不等式 01≠+>x x e x ,证 设x e x f x --=1)(，则1-=x e x f )('。

故当0>x 时，0>)('x f ，f 严格递增；当0<x 时，0<)('x f ，f 严格递减。

又由于f 在0=x 处连续，则当0≠x 时()00=>f x f )(，从而证得01≠+>x x e x ,。

二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降。

但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题。

曲线的弯曲方向我们用曲线的凹凸性来表述。

下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法。

在有的曲线弧上, 如果任取两点, 则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上, 而有的曲线弧, 则正好相反. .曲线的这种性质就是曲线的凹凸性. 因此曲线的凹凸性可以用联结曲线上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述,下面给出曲线凹凸性的定义.定义1 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x 恒有222121)()()(x f x f x x f +<+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 相应的函数称为凹函数: 如果恒有222121)()()(x f x f x x f +>+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧),相应的函数称为凸函数.如果函数f 在I 内具有二阶导数, 那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.定理3(曲线凹凸性的判定定理) 设f 为区间I 上的二阶可导函数, 则在I 上f为凹(凸)函数的充要条件是I x x f x f ∈),)("()("00><几何解释：()()x f y x f =⇒>0"是凹弧；即 ()()()x f x f '''⇒>0单调增加。

()()x f y x f =⇒<0"是凹弧；即 ()()()x f x f '''⇒<0单调减少。

221 21)(a⎫⎛+21x x 221 21)(b图3-4-2图3-4-3)(b即 曲线弧()x f y =是凹（凸）弧的充要条件是：切线与x 轴正向夹角随x 增大而增大（减小）。

设()x f "连续，若()x f "经过点0x 变号，则()x f "=0。

例1 讨论函数x x f arctan )(=的凹凸性区间解 由于()2212)("x xx f +-=，因而当0≤x 时()0≥x f "；当0≥x 时()0≤x f "。

从而在(]0,∞-上)(x f 为凹函数，在[)+∞,0上)(x f 为凸函数。

定义 2 设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有穿过曲线的切线. 且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是凸的和凹的,这时称点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.由定义可见, 拐点正是凸和凹曲线的分界点。

拐点亦称扭转点。

有关拐点的定理 定理4 若f在0x 二阶可导, 则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是00=)("x f .定理5 设f在0x 可导, 在某邻域)(0x U内二阶可导, 若在)(0x U +和)(-0x U上)("x f 的符号相反,则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.必须指出:若))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点, )(x f y =在0x 的导数不一定存在,请考察函数3x y=在0=x 的情况.判定区间I 上的连续曲线)(x f y =的拐点的步骤: (1) 求)("x f ;(2) 令)("x f =0,解出这方程在区间I 内的实根,并求出在区间I 内)("x f 不存在的点; ⑵ 解)("x f =0,得 ,,,210x x x ，并求出I 内)("x f 不存在的点： ,,,210ξξξ；(3) 对(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x , 检查)("x f 在0x 左、右两侧邻近的符号, 那么当两侧的符号相反时,点))(,(00x f x 是拐点,当两侧的符号相同时,点图3-4-4))(,(00x f x 不是拐点.⑶ 考察)("x f 经过 ,,,210x x x ， ,,,210ξξξ时是否变号。

例2 求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹凸的区间。

解 函数14334+-=x x y 的定义域为()+∞∞-,，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+-=3236243611212223x x x x y x x y ",'解方程0="y ，得32021==x x ,。

把函数的定义域()+∞∞-,分成三个部分区间(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-,,,,,323200。

在(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,,320及上,0≥"y ,因此在在(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,,320及上,这曲线是凹的。

在⎥⎦⎤⎢⎣⎡320,上,0≤"y ,因此在在⎥⎦⎤⎢⎣⎡320,上,这曲线是凸的。

()⎪⎭⎫⎝⎛27113210,,,是这曲线的两个拐点。

例3 问曲线4x y =是否有拐点？解23124x y x y ==','。

显然，只有0=x 是方程0="y 的根，但当0≠x 时，无论0<x 或0>x 都有0>"y ，因此点()00,不是这曲线的拐点。

曲线4x y =没有拐点，它在()+∞∞-,内是凹的。

例4 求曲线3x y =的拐点。

解这函数在()+∞∞-,内连续，当0≠x 时，32329231xx y xy -==",'，当0=x 时，",'y y 都不存在。

故二阶导数在()+∞∞-,内不连续且不具有零点。

但0=x 是"y 不存在的点，它把()+∞∞-,分成两个部分区间(]0,∞-、[)∞+.0。

在(]0,∞-上，0≥"y ，曲线是凹的，在[)∞+.0，0≤"y ，这曲线是凸的。

0=x 时，0=y ，点()00,是这曲线的一个拐点。