共线定理以及三点共线一、向量共线定理平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=例1.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则A. 0B.C.D.【解答】 解：因为向量与共线，所以存在实数x 有，则，解得故选D ．例2.已知向量，，且与共线，，则 A.B.C.或D.或【解答】 解：与共线，，， ， 或．故选：D ．例3.若、是不共线向量，，，且，则k等于A. 8B. 3C.D.【解析】解：，是不共线向量，，，且，存在实数使得．．，解得．故选D．例4.向量，，若与共线且方向相反，则______．【解答】解：，，解得，又与方向相反，．故答案为．例5.已知点P在线段AB上，且，设，则实数______．【解析】解：如图所示，点P在线段AB上，且，；又，．故答案为：．例6.已知向量______．【解析】解：，，则有，解得，故答案为．例7.已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为A. 2B.C.D. 3【解答】解：，，、B、D三点共线，与共线，存在唯一的实数，使得即解得．故选A．例8.已知、是两个不共线向量，设，，，若A，B，C三点共线，则实数的值等于A. 1B. 2C.D.【解答】解：，，，，，，B，C三点共线，不妨设，，，解得．故选C．例9.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为A. B. 8 C. 6 D.【解答】解：，因为三点A，B，D共线，所以与共线，则存在实数，使得，即，由向量相等的条件得，所以．故选A．例10.设，是不共线向量，与共线，则实数k为______ ．【解答】解：与共线，且，是不共线向量，存在实数满足：，且，．故答案为．例11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．二、三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB=+且1x y+=。
特别地有：当点P在线段AB上时，0,0x y>>当点P在线段AB之外时，0xy<例1.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若1200OB a OA a OC=+，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合 所以yx 41+的最小值为9例3.如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C例4.如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且，，连接AC 、MN 交于P 点，若，则的值为A.B.C. D.【解答】 解：，，，、N 、P 三点共线．， ，图2故选C．例5.如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m的值为______．【解答】解：连接AO，则，又，O，N三点共线，，即．故答案为．例6.如图所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例7.如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +图6分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG x AE x AC ∴=+- , 1133AE AB a ==,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33xAG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AF λλ∴=+- 1144AF AD b ==，， 1(1)4AG a b λλ∴=+-…………………………… ②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+三、推论推论1：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +>。
推论2：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P. 点O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +<。
练习： 已知点P 为三角形ABC 所在平面内一点，且13AP AB t AC =+(t R ∈),若点P 落在三角形ABC 的内部，如图11,则实数t 的取值范围是（ ）A ．3(0,)4 B. 13(,)24C. (0,1)D. 2(0,)3 解：点P 落在ABC 的内部 ∴A,P 两点在直线BC 的同一侧，∴由推论2知：113t +< 23t ∴<专项练习：1.OAB ∆，点P 在边AB 上，3AB AP =，设,OA a OB b ==，则OP = （ ） 12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为（ ）A ．3x +2y -11=0B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=03.已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+的最小值是 P BA4、在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b5、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b6、在平行四边形ABCD 中，11,34AE AB AF AD ==,C E 与BF 相交于点G,记AB =a ，AD =b ，则AG ＝( )A ．2177+a b B ．2377+a b C ．3177+a b D ．4277+a b7、在△ABO 中，已知11,,42OC OA OD OB ==，且AD 与BC 相交于点M ，设,,OA a OB b ==则_________OM =（结果用a b 与表示）8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若=+OC xOA yOB则有：（）<+<+>+<--<+<A x yB x y A x y A x y.01.1.1.10。