6.3.1 平面向量基本定理
高一数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用
学习目标
1.了解平面向量的基本定理及其意义; 2.能够在具体问题中适当的选取基底，使其他
向量能够用基底来表示; 3.理解平面向量共线的条件，会用向量证明简
单的几何问题; 4.核心素养：数学推理、数学抽象、数学运算。
一、回顾旧知
1 2
e1
e2
AE
AE // FC
∵ AE, FC 共线，又无公共点,
AE // FC
变式训练2 用向量方法求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.
求证： ∠ABC=90°
证明: 如图 AB AO OB OC OB
BC OC OB
A
AB BC (OC OB) (OC OB)
即 a 1e1 +2 e2
a 1e1 2 e2
a
a
e1
e2
若 a 0, 取 1 2 0, 使 0 1e1 2 e2
若 a 与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0 (1 0),
使 a 1e1 2 e2
１.平面向量基本定理 如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,
那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有
OM 1OA 1e1 ON 2OB 2 e2
OC 1e1 2 e2
即 a 1e1 +2e2
给定平面内两个不共线的向量 e1 、e2
可表示该平面内任一向量 a吗？
N
A B
e1
e2
a
e1
e2
C
O
a
如图 OC OM ON
M
OM 1OA 1e1 ON 2 OB 2 e2
OC 1e1 2 e2
一对实数1，2 , 使
a 1e1 2 e2
若e1, e2不共线,我们把 e1, e2 叫做表示这
一平面内所有向量的一个基底.
设e1,e2不共线,且a x1e1 y1e2,b x2e1 y2e2,
若a
b,
则有
x1 y1
x2 y2
.
四、巩固新知
例1. 如图,OA,OB不共线,且AP t AB(t R),
3
方法一：设BP PN
9
0 ,得BP
BN
9
AN AB ,
1+ 1+
则AP
AB
BP
1
1+
AB
1+
AN , m8 9
1
1+ 1+
解得
m
8 1 9
方法二：又B、P、N三点共线，由三点共线的性质定理可知
m 1 1,m 1
8
9
例2.如图6.3-5，CD是ABC的中位线，CD 1 AB, 2
用向量的方法证明ABC是直角三角形.
证明：如图6.3 6,设CD=a, DA=b,
C
则CA=a+b，DB=-b，于是CB=a-b.
2
2
CACB
a+b
a-b
a b .
向量的数量积
A
因为CD= 1 AB, 2
是否为零，是判 断相应的两条线
所以CD DA
段（或直线）是 否垂直的重要方
因为a2 CD2 , b2 D法之A一2 ,.
OP mOA (1 m)OB
即,OP OB m(OA OB)
其逆命题是否成立？
得, BP mBA
即：已知O、A、B三点不共线， 若OP mOA nOB,且m n 1
BP // BA
则A、P、B三点共线
B是公共点,所有A, P, B三点共线.
2.平面内三点共线的一个充要条件
若O、A、B三点不共线， 则P、A、B三点共线的充要条件为：
OP mOA nOB, m, n R且m n 1
变式训练1:
在ABC中, AN 1 NC, P是BN上一点,若AP mAB 2 AC,
3
A9
A 则实数m的值为( )
N
A. 1 B. 1 C.1 D.3 B
PC
9
3
解： AN 1 NC, AP m AB 2 AC, AP m AB 8 AN ,
D
P、Q、E分别是线段 AC、BD、AB 的中点
P
Q
PE 1 a , EQ 1 b,
2
2
A
E
B
PQ PE EQ 1 a 1 b. 22
拓展训练4
(1)小明从A到B,再从B到C,则他两次的位移之和是：
AB BC AC 三角形法则
D
首尾相接，由首至尾
C
AB AD AC 平行四边形法则
A
共起点
B
(2)向量共线定理：
如果有一个实数，使b a(a 0),
那么b与a是共线向量；
反之，如果b与a a 0 是共线向量，
那么有且只有一个实数，使b= a.
OC 2 OB 2 0
B O
C
图 2.5-4
AB BC
利用向量的数量积可解决
即ABC 90 长度、角度、垂直等问C与BD
的中点，BC a, DA b,并且a,b不是共线向量，
试用基底a, b表示向量PQ. 解法一： PQ PA AD DQ
用OA,OB表示OP. P
解： AP t AB
B
OP OA AP
OA t AB
A
OA t(AO OB) O
OA tOA tOB
(1 t)OA tOB
解题反思： 本题的实质是：已知O、A、B
三点不共线，若点P在直线AB上 则OP mOA nOB,且m n 1
OP mOA nOB, m n 1
D
B
图6.3-5
C
所以CA CB 0
A
因此CA CB
于是ABC是直角三角形.
D
B
图6.3-6
变式训练2: ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，
e 试判断AE,CF是否平行？
D
2
E
C
解：取基底 AB e1, AD e2
则有 AE AD DE A
e2
1 2
e1
F e1 B
FC
FB
BC
二、探究新知
给依定照平速面度内的分两解个，不平共面线内的任向一量向量e1 、a e2
可可表作示怎该样平的分面解内呢任？一向量 a吗？
平行四边形法则
≈
a
e2
e2
e1
a
e1
e2
e1
给定平面内两个不共线的向量 e1 、e2
可表示该平面内任一向量 a吗？
M
C
a
e1
e2
如图 OC OM ON
Aa
e1
O e2 N B
PQ PC CB BQ
C D
P
Q
2PQ AD CB a b A
B
PQ 1 a 1 b 22
拓展训练3
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD
的中点，BC a, DA b,并且a,b不是共线向量，
试用基底a, b表示向量PQ.
C
解法二：取AB的中点 E,连接 PE、QE，