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生存模型讲稿(201009)(0920)

School of Statistics, CUIT
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Monday, September 20, 2010
《生存模型》讲稿
○模型适宜性讨论
在一个较长的时间间隔中,至少对人的生存模型,均匀分 布作为一个生存模型并不合适。然而,在历史上它正是为 此目的而被提出的第一个连续型概率分布(Abraham de Moivre, 1724)。 该分布的主要用于较短的时期。
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◎纵剖面研究(Longitudinal Studies)
不是选择一个时间区间,而是选择一研究群体并纵向地追踪该群体的经历至将来。 其中一种称为群体完整设计(cohort complete design)〖a group of people who share a
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S y F y
1 y 2 〖 :中位数〗
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◎精算生存模型记号:
●总量模型: S ( x) ( x 0 ) : x , e0 ○死力(the force of mortality)

○ x 岁人群未来预期寿命(生命期望)
e[ x ] E T , x tf (t , x)dt
0
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◎参数生存模型举例
●均匀分布
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◎定义
随机变量T 表示一个研究对象从 t 0 到它失效的时间,因此常称为失
效时间随机变量(failure time random variable) 。


y dy ln S t
0
t

t S t exp y dy 0
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◎分布函数 F t 与生存分布函数 S t
●定义
F t Pr T t , S t Pr T t
如果T 是失效时间,那么在时间 t 该研究对象仍然运行的概率等于失 效时间迟于 t 的概率。也就是:
S (t) Pr(T t)
称为生存分布函数(survival distribution function)
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◎另一个例子:
相伴变量(日历年龄,性别,是否吸烟…)
○保险签约:保险签约是定义在 t 0 时的初始事件。 x 表示保险签约 时投保人的日历年龄。当 t 0 时, x 25 与 x 55 会使 S (t) 在有不同的 值…… 基于同样的理由:m 表示保险签约时投保人的性别,s(smoking)表 示 保 险 签 约 时 投 保 人 是 否 为 吸 烟 者 。 当 t 0 时 , m "male" 与
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(t )
f (t ) : S (t )

0
“常力” (分布)

1
E (T ) tf (t )dt
20
Var (T ) E (T 2 ) [ E (T )]2 ,
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f y dy
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◎危险率(函数)(hazard rate function, HRT)
●定义
t
f t S t
●含义
t 0时的群体中,那些生存到时间t的成员,在时间t处瞬间死亡的密 度〖单位时间内死亡人数〗
m " female" , s "smoking " 与 s "no smoking " 都会使 S (t ) 在有不同的
值……
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◎定义
如果失效时间随机变量T 的生存分布函数与其他变量( x ,m ,s …)有关,则称选
择模型(select models),记为 S (t; x,m, s) 。 ( x ,m ,s …)称为相伴变量(Concomitant
variables) 。 S (t; x) 为常用的精算生存模型,其中 x 为某一选择年龄(select age) 。 如果, 定义在 t 0 时的初始事件是某人的实际出生日, 则T 亦即死亡时间, 通常用 X 表示,称死亡年龄(Age at death)或将来寿命随机变量(Future lifetime random variable) 。连同其生存分布,称综合模型,记为 S (x) 。
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● t , f t 与 S t
d S t d dt t ln S t S t dt
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●指数分布
○指数分布生存模型:定义
S (t ) et , t 0, 0
○指数分布生存模型:性质
F t 1 e t , f t e t
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◎三个例子:
失效时间(failure time)…
○一台空调机在室温很高的实验室中运转。空调机开始工作时相当 于时间 t 0 …… ○考虑注射了致癌物质的实验动物的生存研究。 注射致癌剂就是 t 0 的最初事件…… ○考虑己被诊断患某种疾病且已开始治疗的某些人的生存研究。如 果患病的那天记为 t 0 ……
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◎横截面研究(Cross_Sectional Studies)
首先定义研究群体 (study group) ,即一个可看作是相同人的总体。 如: 一个城市 (国 家,民族)的全部人口,一家人寿保险公司的保单持有人(policyholders),一个 养老金计划(a pension plan)的成员。 其次是观察期(observation period)的选择。这个时期一开始,作为研究群体成员 的许多人就被臵于观察之下。在观察期间,可能有其他人加入研究群体,也会有一 些人未死亡就退出了研究,这种进出活动称为迁移(migration) 。
0 t

t
t
S (t ) 1 F (t ) f ( y)dy
t

(t )
f (t ) 1 S (t ) t

E (T ) tf (t )dt
0
2

2

Var (T ) E (T ) [ E (T )]
2
2
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● t , E T 与 var T
t t y dy ln S t 〖累积危险函数〗 S t e ,
0 t


E T tf t dt
0


0
S t dt ,
var T E T 2 ET
Topics:
■生存模型 (Survival Models) 与精算生存模型 (Actuarial Survival Models) ■研究方案设计(Study Design) ■生存模型数学(mathematical foundation) ■小结(summary)
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