直线与角》全章复习与巩固（基础）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：吴婷婷学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1. 几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果2. 几何图形的构成元素几何体是由点、线、面构成的. 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线2. 基本事实（1）直线: 两点确定一条直线．（2）线段: 两点之间线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②两条直线相交只有一个交点. ③两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.3．线段的长短比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：1AM MB AB.2要点诠释：1①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有AM AB，则点M为线段AB 的2中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.1如下图，点M,N,P 均为线段AB的四等分点，则有AM MN NP PB AB .4A M N P B要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.（2）角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示. 例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示2. 角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0<∠β<90°∠β＝90°90°<∠β <180°∠β＝180°∠β＝360 °3. 角的度量1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60 进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60 进一，减一成60.4. 角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角1的平分线，例如：如下图，因为OC是∠ AOB的平分线，所以∠ 1=∠ 2= ∠ AOB，或∠ AOB=2 2∠1=2∠ 2. 类似地，还有角的三等分线等.5. 余角、补角（1）定义：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余（2）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等. 要点诠释：①余角（或补角）是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角” ，而“同角是同一个角” ．6. 方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（或补角）.（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的 . 所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南 . 二要确定其旋转方向是向东还是向西， 三要确定旋转角度的大小 . （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西 45 °通常叫做西北方向，南偏东 45 °通常 叫做东南方向，南偏西 45 °通常叫做西南方向 .（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛 .要点四、用尺规作线段与角1. 尺规作图 几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画圆，这种画圆的方法叫做尺规作图 .2. 用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段要点诠释： 画一条线段等于已知线段2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数 3）用尺规作一条线段等于已知线段的和 4）用尺规作一条线段等于已知线段的差 3. 用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角 . （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数 （3）用尺规作一个角等于已知角的和（4）用尺规作一个角等于已知角的差【典型例题】 类型一、几何图形②用尺规作图法： 用圆规在射线 AC 上截取 AB ＝ａ，如下图：1. 观察图中的立体图形，分别写出它们的名称．【答案】从左向右依次是：球、六棱柱、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱、四棱锥、长方体．【解析】针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．【总结升华】熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．类型二、线段和角的概念或性质2. 下列说法正确的是( )A. 射线AB与射线BA表示同一条射线.B. 连结两点的线段叫做两点之间的距离.C.平角是一条直线.D. 若∠1+∠2＝900,∠1+∠3＝900, 则∠ 2＝∠ 3.答案】D【解析】选项A 中端点和延伸方向不同，所以是两条射线；选项B 中两点之间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是图形；C 中角和直线是两种不同的概念，不能混淆. 【总结升华】理解概念，掌握概念与概念的本质区别，并进行“比较”性分析和记忆．举一反三：【变式】下列结论中，不正确的是（）．A ．两点确定一条直线B ．两点之间，直线最短C．等角的余角相等D．等角的补角相等答案】B3. 如图所示，要把水渠中的水引到水池 C ，在渠岸AB 的什么地方开沟，才能使沟最短? 画出图来，并说明原因．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥ AB ，垂足为D．所以在点D 沿CD 开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短” ，实质上是如何过C 点向AB 引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．4. （广西钦州）钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15 分钟旋转了 __________________ 度．【思路点拨】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】90【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5 分钟旋转30°，所以经过15 分钟旋转了90°．【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5 °；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．举一反三：【变式】100°－60° 52′ 10″＝【答案】39° 7′ 50″ 类型三、线段或角的计算1. 方程的思想方法5. 如图所示，在射线OF 上，顺次取A 、B、C、D 四点，使AB:BC:CD＝2:3: 4，又M、N 分别是AB、CD 的中点，已知AD ＝90cm，求 MN 的长．【思路点拨】 有关比例问题，可设每一份为 x ，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的和、差． 【答案与解析】 解：设线段 AB ，BC ，CD 的长分别是 2x cm ，3x cm ，4x cm ， ∵AB+BC+CD ＝ AD ＝90 cm ，∴ 2x+3x+4x ＝90，x ＝10， ∴AB ＝ 20 cm ， BC ＝ 30 cm ， CD ＝ 40 cm ，11＝ AB+BC+ CD ＝ 10+30+20＝ 60( cm) ．22总结升华】 当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数 子表示相关的线段的长度，列方程求出 x 的值，进而求出线段的长． 举一反三：变式】如图所示，已知∠ AOC ＝∠ BOD ＝100°，且∠ AOB : ∠AOD ＝2: 7，求∠ BOC 和 ∠COD 的度数．【答案】解：设∠ AOB 的度数为 2x ，则∠ AOD 的度数为 7x ．由∠ AOD ＝∠ AOB+ ∠BOD 及∠ BOD ＝100°， 可得 7x ＝2x+100 °．解得 x ＝ 20 °，所以∠ AOB ＝2x ＝40°．所以∠ BOC ＝∠ AOC - ∠ AOB ＝100°-40°＝60°， ∠ COD ＝∠ BOD - ∠BOC ＝ 100°- 60°＝ 40°2. 分类的思想方法6. 以∠ AOB 的顶点 O 为端点的射线 OC ， 使∠AOC: ∠BOC ＝5:4．(1) 若∠ AOB ＝ 18°，求∠ AOC 与∠ BOC 的度数；(2) 若∠ AOB ＝ m ，求∠ AOC 与∠ BOC 的度数． 【答案与解析】∴MN ＝ MB+BC+CNx ，用 x 的式解：( 1)分两种情况：①OC 在∠ AOB 的外部，可设∠ AOC ＝5x，则∠ BOC ＝4x 得∠ AOB ＝x，即x＝18°所以∠ AOC ＝90°，∠ BOC ＝72°②OC 在∠ AOB 的内部，可设∠ AOC ＝5x，则∠ BOC ＝4x ∠AOB ＝∠ AOC+ ∠BOC ＝9x所以9x＝18°，则x＝2°所以∠ AOC ＝10°，∠ BOC ＝8°54(2)仿照( 1)，可得：若∠ AOB ＝m，则∠ AOC＝m，∠ BOC＝m，或∠ AOC ＝5m，99∠BOC ＝4m．【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC 在∠ AOB 的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．举一反三：【变式1】已知线段AB ＝8cm，在直线AB 上画线段BC＝3cm，求线段AC 的长．【答案】解：分两种情况：(1)如图(1)，AC＝AB －BC＝8－3＝5(cm)；(2)如图(2)，AC＝AB+BC ＝8+3＝11( cm) ．所以线段AC 的长为5cm 或11cm．【变式2】下列判断正确的个数有( ) ．①已知A、B、C 三点，过其中两点画直线一共可画三条．②过已知任意三点的直线有1 条．③三条直线两两相交，有三个交点．A．0个B．1个C．2 个D．3个【答案】A3. 类比的思想方法【高清课堂：图形认识初步章节复习399079 类比思想例5】7.（1）如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______ 条线段.OC，则图中共有个角.【答案】（1）6；（2）6.【解析】（1）以A 为端点的线段有3条，同样以B,C,D 为一个端点的线段也各有因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数： 3 4 6 （条）.2（2）以射线OA 为一边的角有3 个，同样以OB，OC，OD 为一边的角也各有34为所有角均重复一次，所以共有角的个数： 3 4 6（个）.2【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容类型四、线段或角的作图3 条，又3 个，又因OB、举一反三：【变式】下列作图属于尺规作图的是（ ）．A ．画线段 MN=3cm ．B ．用量角器画出∠ AOB 的平分线．C ．用三角尺作过点 A 垂直于直线 L 的直线 ．D ．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB ，使∠ AOB=2∠α． 【答案】 DDCP=∠DAB （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）8. 在如图中，补充作图：在 AD 的右侧作∠正确掌握基本作图是解决本题的 【答案与解析】 解：（1）作图如下：关键．作一个角等于已知角，。