5-9 若电荷均匀地分布在长为L 的细棒上，求证： （1）在棒的延长线上，且离棒中心为r处的电场强度为： 1 Q E 0 4r 2 L2 （2）在棒的垂直平分上，且离棒中心为r处的电场强度为： 1 Q E 2 0 r 4r 2 L2 若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线 的电场强度相比较。 证明： （1）考虑棒的延长线上距棒中心为r的P点； 取坐标如右图所示； r 在棒上x处取线元dx， x 线元dx的带电量dq为： 1 2L Q dq dx L
R 2 1
kr 2 或，E er （0≤r≤R） 4 0
R
4 kR r dr1
当 r > R 时，高斯面所包围的电荷电量q为:
q kr1 4 r dr1 4 k
0
0
3 1
应用高斯定理，得：E 4 r 2 kR4
0
（r>R）
kR 4 故：E 4 0 r 2
[( E1 kx )i E2 j ] ( dSj )
S
G F H D
S
O
x
E2 a
2
z C
因此，整个立方体表面的电场强度通量为：
ABOC DFGH BGHO AFDC ABGF CDHO
E1a2 (E1a2 ka3 ) 0 0 E2a 2 (E2a 2 )
5-15
如图所示，边长为a 的立方体，其表面分别平行于xy、
yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电 场强度为 E (E1 kx)i E2 j 的非均匀电场中，求立方体各表 y 面的电场强度通量。 G B 解： 对立方体的各个顶点标上符号， A 如右图所示， F （1）对于ABOC平面，x = 0 H x O E E1i E2 j =恒矢量 z C 2 D S a i 2 2 E a ( E i E j ) ( a i ) E S 所以， ABOC 1 1 2
R2 R1

（3）求球壳与球面间空间的场强E3 S4 在球壳与球面间作一半径为r的球面为高 S3 斯面S3，如右图所示； Q2 类似（1）的分析，得到： Q1 3 E dS E3 4 r 2 ( R2 r R3 ) 高斯面S3内的电荷q为：q Q1 由高斯定理，得到场强E3为： 1 Q1 E3 ( R2 r R3 ) 2 4 0 r
S
y
B A F H D G
（4）对于AFDC平面（类似于BGHO平面）， O dS dSk E (E1 kx)i E2 j z C 所以， AFDC E dS 0 （5）对于ABGF平面， E (E1 kx)i E2 j 所以， ABGF E dS
S
S S
x
dS dSj
2 [( E1 kx )i E2 j ] ( dSj ) E2 a
（6）对于CDHO平面（类似于ABGF平面）， y dS dSj E (E1 kx)i E2 j B A 所以， ABGF E dS
S1
高斯面S1内的电荷q为：q 0 所以，由高斯定理得到球壳内部空间
R3
E1 0 的电场强度E1为：
(r R1 )
Q2
S2
Q1
r （2）求球壳内空间的场强E2 在球壳内空间作一半径为r的球面为高 斯面S2，如右图所示； 类似（1）的分析，得到： 2 E dS E2 4 r 2 ( R1 r R2 ) S2 3 3 Q ( r R Q1 4 3 3 1 1) q 4 (r R1 ) 高斯面S2内的电荷q为： 3 3 3 3 ( R R ( R R ) 3 2 1) 2 1 3 由高斯定理，得到场强E2为： Q1 r 3 R13 ( R1 r R2 ) E2 3 3 2 4 0 ( R2 R1 )r
R3 R2 R1

S3
rr
（4）求球面外空间的场强E4 在球壳与球面间作一半径为r的球面为高斯面S4，如上图所示； 类似（1）的分析，得到： 4 E dS E4 4 r 2 ( R3 r )

S4
高斯面S4内的电荷q为：q Q1 Q2
由高斯定理，得到场强E4为： 1 Q1 Q2 E4 (r R3 ) 4 0 r 2 电场强度分布为：
（2）对于DFGH平面，x = a 2 S a i E (E1 ka)i E2 j =恒矢量 2 2 3 DFGH E S [( E1 ka)i E2 j ] (a i ) E1a ka 所以，
（3）对于BGHO平面， dS dSk E (E1 kx)i E2 j 所以， BGH 0 E dS E 4 r 2
2 1
当0≤r≤R 时,高斯面所包围的电荷电量q为:
q kr1 4 r dr1 4 k r13dr1 kr 4
0
r
应用高斯定理，得：E 4 r 2 kr 4
0
k 2 故：E r 4 0
1 L2 4r 2
所以，B点的电场强度为： Q E Ex i E y j 2 0 r
1 L2 4r 2
j
y dE
dEy
当L→∞时，注意到：
Q/ L E lim L 2 r 0
Q L 1
dEx B r
x
dx
1 2
1 4r 2 L2
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的结果，且具有普遍 性。实际的带电球面都是有一定厚度的球壳，球壳内外的电场强
度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场E2 ，如果球壳
的厚度变小，E2的变化就变陡，最后当厚度趋向于零时，E2的变 化就变成为跃变。
5-21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别 为R1和R2（R1>R2），单位长度上的电荷为λ；求离轴线为r处的电 场强度：（1） r < R1 ；（2） R1 < r < R2 ；（3）r > R2 解： 由于电荷分布在无限长的同轴圆柱面上，电 场强度也一定呈对称性分布，沿矢径方向。 （1）求 r < R1 的电场强度； 在圆柱面R1内作半径为r、高为h的高 斯面，如右图所示，只有侧面有电通量， 所以，
ka 3
kr 0 r R 为 0 r R
5-17 设半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度
k为一常数；试用高斯定理求电场强度 E
与r的函数关系。（你能用电场叠加原理 求解这个问题吗？） 解: 由于电荷分布具有球对称性，所以

o
R
r r1
dr1
电场分布也是球对称的，同心球面 上各点电场强度的大小为常量；以同心球面为高斯面，则有：
Q
x r 2 x2 r
y dE
dEy
dEx B r
x
O
dx
1 2
L
x
积分得：

E x dE x
xdx 0 2 2 32 4 0 L L 2 ( r x ) Qr
L 2
Q
L 2
Q dx E y dE y 2 (r 2 x 2 )3 2 2 0 r 4 0 L L
kR 4 e 或，E 2 r 4 0 r
5-20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为
Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面电荷为Q2，
求电场分布。电场强度是否为离球心距离的连续函数？试分析。 如右图所示， 解： 球壳和球面将空间分为四个部分； 由于电荷分布具有球对称性， 所以电场的分布也具有球对称性；
dq dS 2R 2 sin d
在点O激发的电场强度为
dΕ
1 xdθ 2 2 4ππ x ρ 0


32
i
由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系 x R cos r R sin 统一积分变量，有
dE
1
4 0 x 2 r 2
R3
Q2 Q1
（1）求球壳内部空间的场强E1
在球壳内部空间作一半径为r 的球面为 高斯面S1，如右图所示；则S1面上各点
S1 r
R2 R1
的 E 大小相等，方向与各点对应面积矢量元 dS 的方向相同 2 E dS (r R1 ) 所以，1 E 4 r 1

xdq

32
R cos 2 2 R sin d 3 4 0 R 1
sin cos d 2 0
积分得球心的电场强度为
E
2
0
sin cos d 2 0 4 0
或 E 0
2
sin cos di i 2 0 4 0


所以
dx dE y 4 0 L r 2 x 2 r 2 x 2 Q xdx dEx 4 0 L (r 2 x 2 )3 2 即， 1 Qr dx 2 L dE y 4 0 L (r 2 x 2 )3 2

dx dEx 4 0 L r 2 x 2 Q
O
dx
1 2
L
P
x
dq 4 0 (r x) 2 Q dx dE 即， dE 的大小dE为： 4 0 L (r x)2 dE 的方向为： 沿x轴正向； r x 应用电场强度的叠加原理， dx 1 O 1 L 2 L 2 得到总场强的大小E为：
Q