第九章 真空中的静电场
一、选择题
⒈ C ； ⒉B ；⒊ C ； ⒋ B ； ⒌ B ； 6.C ； 7.E ； 8.A,D ； 9.B ；10. B,D 二、填空题 ⒈
2
3
08qb R
πε，缺口。

⒉ 0
q
ε，< ;
⒊ 半径为R 的均匀带电球面（或带电导体球）; ⒋ 12
21
E E h h ε--； 2.21⨯10-12C/m 3; ⒌ 100N/C ；-8.85×10-9C/m 2 ; ⒍ -135V ； 45V ; ⒎
006q Q R πε；0；006q Q R πε- ；006q Q
R
πε ； ⒏ 1
2
22
04()
q x R πε+；
32
22
04()
qx x R πε+
；
2
R ；432.5 V/m ; 9.有源场；无旋场 (注意不能答作“保守场”，保守场是针对保守力做功讲的)。

三、 问答题
1. 答： 电场强度0E F q =r r
是从力的角度对电场分布进行的描述，它给出了一个矢量场分布的图像；而电势V =W /q 是从能量和功的角度对电场分布进行的描述，它给出了一个标量场分布的图像。

空间任意一点的电场强度和该点的电势之间并没有一对一的关系。

二者的关系是：
"0"p d grad ,d d P
V
E V V E l n =-=-=⋅⎰r r r 。

即空间任一点的场强和该点附近电势的空间变化率相联
系；空间任一点的电势和该点到电势零点的整个空间的场强分布相联系。

由于电场强度是矢量，利用场叠加原理计算时，应先将各电荷元产生的电场按方向进行分解，最后再合成，即：
d d d d ;x y z E E i E j E k =++r r r r
， d ,d ,d x x y y z z E E E E E E ===⎰⎰⎰
而电势是标量可以直接叠加，即：V dV =⎰。

但用这种方法求电势时，应注意电势零点的选择。

四、计算与证明题
1. 证：①根据对称性分析，两段带电直线各自在O 点的电场强度大小相等，方向相反，相互抵消，所以只计算带电细线半圆形部分的电场。

取电荷元d q =λd l ，设d E 和y 轴夹角为θ，其大小为：
d E =
根据其对称性有：E x =0；θπελ
θπελd cos 4cos 4d d 020a
a l E y ==
（如果设d E 和x 轴夹角为θ，那么上面表达式中的cos θ1要变成sin θ）
a a E y 0/2/202d cos 4πελθθπελππ==⎰-， j a
E ϖ
ϖ02πελ=
②设带电直线上电荷元d q =λd l 到O 点的距离为l ，则其在O 点的电势为：
l l U 014d d πελ=， 2ln 4d 40
201πελπελ==
⎰a a l l U 半圆形带电细线上任一电荷元在O 点的电势为：
a l U 024d d πελ=，0
0014d 4πελππελπ==⎰a l a U
两段带电直线在O 点的电势相同，故O 点电势为： )2ln 2(40
21ππελ
+=+=U U U 得证。

2. 解：①根据对称性，选半径为r 的同心球面为高斯面，则由高斯定理有：
2S
4d d επ∑⎰⎰⎰⎰=
==⋅q Er s E S E ϖ
ϖ，
当r <R: ∑==Q R
r r q 33334πρ， 于是：304R Qr
E πε=内
当r >R:
∑=Q q ， 于是：2
04r Q E πε=
外
②选无穷远点位电势零点。

则球内任一点电势为：
⎰⎰⎰∞
∞⋅+⋅=⋅=R
r
r
d d d r E r E r E U R 外内内ϖϖ
R
Q r R R Q r r Q r r R Qr R
r
R r 02
23020
304)(8d 4d 4πεπεπεπε+-=+
=
⎰
⎰ r
E
R
球外一点电势：r Q r r Q r E r E U r r 0
2
r
4d d d πε=⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰
∞∞∞
外外ϖϖ
图：
③同样根据对称性，选半径为r 的同心球面为高斯面，则由高斯定理有：
2
S
4d d επ∑⎰⎰
⎰⎰===⋅q Er s E S E ϖϖ，
当r <R ，在高斯面内作一半径r '厚度dr '的同心薄球壳，薄球壳带电量为
r r r R Q r q '''
='=d 41
2d )(d 22
ππυρ， 高斯面内总电量2202d 2d )(r R
Q
r r R Q V r q r V =''='=⎰∑⎰ρ
于是：2
04R
Q E πε=内
得证。

3. 解：①两个球面将空间分为三个区域，据高斯定理， 在Ⅰ区：0<r <R 1，10E =；在Ⅱ区：R 1<r <R 2，22
04q E r πε=
；
在Ⅲ区： r >R 2，32
04Q q
E r
πε+=
；则所求电势分别为： 3304r
Q q
V E dr r
πε∞
+==
⎰，024Q q V R πε+==外；
② 2
2
223002
44R r
R q Q V E dr E dr r R πεπε∞
=
+=
+
⎰⎰，020144q q V V
R R πεπε∆=-
；
③ 2
1
2
12301
02
44R R R q
Q V E dr E dr R R πεπε∞
=
+=
+
⎰⎰，0102
44q
Q
V R R πεπε=
+
内
r
R
④ 2
01
02
1
044R q Q V Q q R R R πεπε=+
==-
内由，得 。

五、附加题
1. 解：在半球的下部再对称地补充一个半球，根据高斯定理， 球内电场强度为零。

如果圆形底面上一点电场强度不垂直于底面， 那么如图，上下半球面电场强度叠加将不为零，与前述结论矛盾。

故，半球底面上任何一点电场强度垂直于底面。

2. 解：在细杆上取电荷元 d q=λd x (1)球面电荷在线单元d x 处的电场：
2
0π4x q E ε=
电荷元受到的电场力为
2
0π4d d x x q F ελ=
整根线受到的力：
)11(π4d π4d 020
l
a a q x x q F F l
a a
+-===⎰
⎰+ελελ 力的方向沿x 轴正方向。

（2）电荷元在球面电荷电场中的电势能为：
x x
q
W e d π4d 0λε=
整根线在该场中的总电势能为：
a
l a q x x q W W l
a a
e e +==
=⎰
⎰+ln π4d π4d 00
ελελ。