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福师大《复变函数》网络作业

作业1一、判断(对的用T 表示,错的用F 表示) 1、如果0()f z '存在,那么()f z 在0z 解析。

( F ) 2、()n Ln z nLnz =。

( F )3、当且仅当z 为实数时,z e 为实数。

( F )4、设()f z u iv =+在区域D 内是解析的,如果u 是实常数,那么()f z 在整个D 内是常数;如果v 是实常数,那么()f z 在D 内也是常数。

( T )二、填空1、1Re 2n ⎡⎤⎛+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦=;1Im 2n ⎡⎤⎛+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 。

2、设ω是1的n 次根,1ω≠,则211n ωωω-++++= 0 。

3、在映射2z ω=下,扇形区域0a rg ,14z z π<<<的像区域为2πarg 0<<z 。

4、若()()11n ni i +=-,则n = 。

三、计算1、 计算下列函数值:1)()n i L e ;21)、()n i L e 解: 主值()ln ln arg i i i e e i e i=+=,()()ln 22,i i Ln e e k i i k i k ππ∴=+=+∈Z2解: 设3+4i 的平方根是x+yi ,x 、y ∈R ,则有 x 2-y 2=3,且 2xy=4,求得 x=2,y=1,或x=-2 y=-1, 故3+4i 的平方根是 2+i ,或-2-i , 故答案为:2+i ,或-2-i2、下列函数在复平面上何处可导?何处解析? 1;2)()()2222x y x i xy y --+- 。

1; 解:因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1; 当趋于0+时 f(z)=|1; 右极限不等于左极限。

所以f(z)=|z|在z=0处不可导,而在除0以外的其他地方都可导且解析。

2)()()2222x y x i xy y --+- 。

解:212,,2v 221v ,2x x y y x y y x u x v yu y x y u u v y =-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩==-⇒=-仅在直线12y =上可导,在复平面上处处不解析。

3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数?求出其导数。

解:不是解析函数,因为满足条件的只有两个点,不成区域2(,)24x x f x y u iv x xy '=+=+3234(0,0)0,,4323f f i⎛⎫''==+ ⎪⎝⎭4、已知222371(),:3C f z d C x y zζζζζ++=+=-⎰,求()1f i '+。

解:()2()2(371)()2(67)(1)2613f z i z z f z i z f i i πππ=++'=+'+=-+5、计算积分 1)()2311z z dz z z =--⎰;解:1)()2311z z dz z z =--⎰;2)211sin 41z z dz z π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎰; 解:2sin 41z z π⎛⎫ ⎪⎝⎭-在11z +=内只有1z =-一个极点,所以令()sin 41z f z z π⎛⎫⎪⎝⎭=-,所以()()21111sin 42111z z z f z dz dz if i z z ππ+=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=-+⎰⎰3)()12121zz e dz z z -=+⎰; 解:()12121zz e dz z z -=+⎰dz z z ez )1(2121+=⎰-4)()23132z dzz z -=-⎰。

解:)44(13231+-=⎰-z z z dzz3451443z z z dzz +-=⎰-四、证明:若积分路径不经过i ±,则120,14dz k k z ππ=+∈+⎰。

证明:如果积分路径不经过i ±,且不绕过,i ± 则由柯西定理得,若积分绕z=转1k 圈,则积分值为 若绕z = -i 转2k 圈,则积分值为故在一般情况下,积分值为五、证明:设v 是u 的共轭调和函数,问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数?判断并给出理由: 1),Au Bv Bu Av -+(,A B 为常数); 2)22,u v uv -。

1)证明:2)不是的共轭调和函数证明:因为在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部,反之,某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数。

和不满足此条件,应该是2uv 是的共轭调和函数。

综上所述,不是的共轭调和函数。

作业2一、判断1、0(2)n n n a z ∞=-∑在z=0收敛,在z=3发散。

( F )2、在区域z R <内解析,且在区间(-R ,R )取实数值的函数f(z)展开成z 的幂级数时,展开式的系数都是实数。

( T )3、1tan z 在圆环区域0(0)z R R <<<<+∞内不能展开成罗朗级数。

( F)4、z=0是1tan()zf z e =的本性奇点。

( T )二、填空1、0(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径为 22。

2、22sin z e z 展开成z 的幂级数的收敛半径= ∞ 。

3、z=0是()sin tan f z z z =-的 3 级零点。

4、(),()f z g z 以z=a 为m 级和n 级极点,则z=a 为()()f z g z 的 m+n 级 极 点。

三、计算1、求21z 在01z =-处的泰勒展开式。

解:20111(1)(1)(11)1(1)nn n z z z z z ∞=''⎛⎫⎛⎫=-==+++<⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭∑2、 求11:2n n z z ∞Γ=-⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭∑⎰解:112n n n n dz z dz z dz i z π∞∞ΓΓΓ=-=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰3、 求23()124f z z z z =+-+在z=1处的泰勒展开式。

解:当z=1时,此函数的泰勒展开式为:(z-1)^3-(z-1)^2-3(z-1)4、将21()()f z z z i =-在以i 为中心的圆环域内展开为罗朗级数。

解: 112n n n n dz z dz z dz i z π∞∞ΓΓΓ=-=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰四、若()f z 为整函数,且()lim ()max ()n r z r M r M r f z r →+∞=⎛⎫<+∞= ⎪⎝⎭,则()f z 是不高于n 次的多项式。

证明:()(),,(0,1,2,)k k k kk M r f z c z z c k r ∞==<+∞≤=∑当1k n ≥+ 时,令(1)k n pp =+≥()1()lim lim 0(1)k p n r r M r M r k n r r r →+∞→+∞=⋅=≥+当1kn ≥+时,0k c =作业3一、判断题(对的用“T ”表示,错的用“F ”表示)1、若()f z 在区域D 内单叶解析,则在D 内()0f z '=。

( F )2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。

( T )3、解析函数具有保形性。

(F )4、函数在可去奇点处的留数为0。

( F ) 二、 填空题1、方程在单位圆6426210z z z -+-=内有 6 个根。

2、i 关于1z i -=的对称点为 x ²+(y-1)²=1 。

3、21(),:2(1)(5)(43)f z C z z z z i ==+-+-,则arg ()C f z ∆= -4 。

4、5z 在点1z i =+处的旋转角为 ,伸缩率为 20 。

三、 计算题 1、49(1)(2)(48)(50)z dzz z z z =----⎰解:设f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)], f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)], f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)], 则答案为 2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)] 2、204sin d πθθ+⎰解:((1222011111221214sin 81424,22lim()()4z z z z d dz dzz izz iz izz i z z i z z z z z i πθθπ==→=⋅=-++-+⎛⎫=-- ⎪=⋅ ⎪-- ⎪=-⎝⎭=⎰⎰⎰3、2sin 16x xdx x +∞-∞+⎰ 解: 2sin 16x xdx x +∞-∞+⎰4、求把z 平面的单位圆变为ω平面的单位圆,并使1成为不动点,使1i -变为无穷远点的线性变换()L z ω=。

解:依题意得,设z a a z e i --=1θω,因为1+i 关于单位圆的对称点为 i -11,无穷远点关于单位圆的对称点是0,211211111,11111111,011,1i z i z i i i z i z e ii i i -⋅-+-⋅-+=⇔↔+⋅---⋅=⇒<-↔-∞↔+ωωθ5、求把z 平面的单位圆 1z < 变为ω平面的单位圆1ω<的线性变换()L z ω=,使110,arg 33L L π⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解:设圆周内部一点Z=a(1<a )变为w=0,点a(a ≠0)关于单位圆周1=z 对称点a a 1*=,应该变为w=0 关于单位圆周 1=w 的对称点∞ ,因此所求变换具有形式为: z a dz k az a z kw --=--=111其中 1k 为常数, 当1=z 时,1=w ,故取z=1,对应点w 满足 11111k aak w =--== 因此令为实数)ββ(1i e k =从而所求的变换为z a az ew i --=1β1<z。

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