做几何证明题方法归纳∴≅∴=∆∆A D E C D FDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

证明：连结AC 在∆ABC 和∆C D A 中，AB CD BC AD AC CAABC CDA SSS B DAB CD AE CF BE DF===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()在∆B C E 和∆D A F 中，BE DFB DBC DABCE DAF SAS E F=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∆∆()说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

二. 证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示，设BP、CQ是∆ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

求证：KH∥BC分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。

同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。

从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M∵BH 平分∠ABC ∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH∴==︒∠∠A H BN H B 90 BH ＝BH∴≅∴==∆∆ABH NBH ASA BA BN AH HN ()，同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆A M N 的中位线 ∴KH MN // 即KH//BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例 4. 已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =︒==90。

证明一：连结ADAB AC BD DCDAE DABBAC BD DCBD ADB DAB DAE==∴+=︒==︒=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090在∆A D E 和∆B D F 中，AE BF B DAE AD BDADE BDF FD ED===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆313290说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED 到M ，使BD DCBDM CDE DM DE BDM CDECE BM C CBM BM AC A ABM A AB AC BF AE AF CE BM =∠=∠=∴≅∴=∠=∠∴∠=︒∴∠=︒=∠==∴==，，，∆∆//9090∴≅∴==∴⊥∆∆AEF BFMFE FMDM DEFD ED说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法） 例5. 已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

分析：在AC 上截取AF ＝AE 。

易知∆∆AEO AFO≅，∴∠=∠12。

由∠=︒B 60，知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。

∴∠=∠=∠=∠=︒123460，得：∆∆FOC DOC FC DC ≅∴=，证明：在AC 上截取AF ＝AE ()∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AOAEO AFO SAS ，∆∆42又∠=︒B 60∴∠+∠=︒∴∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=∠=∠=∠=︒∴≅∴=566016023120123460∆∆F O C DOC AAS FC DC()即AC AE CD =+（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

（补短法）例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。

分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。

不妨延长CB 至G ，使BG ＝DF 。

证明：延长CB 至G ，使BG ＝DF在正方形ABCD 中，∠=∠=︒=ABG D AB AD 90，∴≅∴=∠=∠∆∆ABG ADF SAS AG AF ()，13 又∠=︒EAF 45∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒23452145 即∠GAE ＝∠FAE∴=∴=+GE EFEF BE DF中考题：如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

证明：作DF//AC 交BE 于F ∆ABC 是正三角形 ∴∆BFD 是正三角形 又AE ＝BD∴==∴==AE FD BFBA AF EF 即EF ＝ACAC FDEAC EFDEAC DFE SAS EC ED//()∴∠=∠∴≅∴=∆∆题型展示：证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。

BD DC > 证明一：延长AC 到E ，使AE ＝AB ，连结DE在∆A D E 和∆A D B 中，AE AB AD ADADE ADBBD DE E BDCE BDCE EDE DC BD DC=∠=∠=∴≅∴=∠=∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>，，，，21∆∆证明二：如图10所示，在AB 上截取AF ＝AC ，连结DF则易证∆∆A D F A D C≅∴∠=∠=>∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>3434，，DF DCBFD BBFD B BD DF BD DC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。

实战模拟：1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。

求证：DE CD =122. 已知：如图12所示，在∆ABC中，∠=∠2，A B CD是∠C的平分线。

3. 已知：如图13所示，过∆ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。

设M为BC的中点。

求证：MP＝MQ4. ∆ABC中，∠=︒⊥BAC AD BC90，于D ，求证：()AD AB AC BC <++14【试题答案】AC AD AF CDAFC CDE =∴⊥∴∠=∠=︒90又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，∴∠=∠=∴≅∴=∴=4312AC CEACF CED ASA CF EDDE CD∆∆()2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。

“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

证明：延长CA 至E ，使CE ＝CB ，连结ED在∆C B D 和∆C E D 中，CB CEBCD ECD CD CD CBD CED B E BAC B BAC E=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∆∆22又∠=∠+∠BAC ADE E∴∠=∠∴=∴==+=+A D EE AD AEBC CE AC AE AC AD，3. 证明：延长PM 交CQ 于RCQ AP BP AP BP CQPBM RCM⊥⊥∴∴∠=∠，//又BM CM BMP CMR =∠=∠，∴≅∴=∆∆BPM CRMPM RM∴QM 是Rt QPR ∆斜边上的中线 ∴=MP MQ∠=︒∴=BAC AE BC902AD BC AD AE BC AE AD ⊥∴<∴=>，22() AB AC BCBC AB AC BCAD AB AC BC AD AB AC BC +>∴<++∴<++∴<++2414。