2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习【课标要求】1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角；2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )；知道30︒、45︒、60︒角的三角函数值；4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角； 5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题． 【课时分布】解直角三角形在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试及评析．下表为内容及课时安排(仅供参考)．【知识回顾】 1．知识脉络2．基础知识(1)勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． (2)锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义如图7-1，在Rt △ABC 中，∠C =90︒，则 sin A =A ∠的对边斜边=ac ，cos A =A ∠的邻边斜边=b c ，tan A =A A ∠∠的对边的邻边=ab． sin A 、cos A 、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数．∠A 的对边a∠A 的邻边图7-1②锐角三角函数的取值范围0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0．③各锐角三角函数间的关系sin A=cos (90︒−A)，cos A=sin (90︒−A)．④特殊角的三角函数值(3)解直角三角形①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.②解直角三角形的依据角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；②解直角三角形的常见类型及一般解法如图7-2，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．如图7-3，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即hi l=．坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有hi l==tan α．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．④解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案． 3．能力要求例1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =513，则cos A 的值为( ) A ．512 B ．813 C ．23 D ．1213【分析】先画出图形，由于cos A =AC AB ，故只需求得AC ，AB 的关系，可利用sin A =513先求得BC ，AB 的关系，再利用勾股定理即可求得． 【解】选D ． 【说明】本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理．解决这一类问题，必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用，把它们有机地结合起来，因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固．例2 如图7-4，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =25. 求BC 的长和tan B 的值．【分析】用正弦的定义即可求得BC ，而要求tan B 则先要用勾股定理求得AC ． 【解】∵sin A =BC AB =25，AB =10，∴BC =4． ∵AC= ∴tan B =AC BC． 【说明】本题是最基本的解直角三角形问题．例3 如图7-5-1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾铅垂线视线视线水平线 仰角 俯角图7-2图7-3图7-4部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运．根据经验,木板与地面的夹角为20︒(即图10-5-2中∠ACB =20︒)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m ,木板超出车厢部分AD =0.5m ,请求出木板CD 的长度．(参考数据：sin 20︒≈0.3420,cos 20︒≈0.9397,精确到0.1m )．【分析】在Rt △ABC 中,利用∠ACB 的正弦即可求得AC 的长,进而可得CD ． 【解】由题意可知：AB ⊥BC ．在Rt △ABC 中，∵sin ∠ACB =ABAC，∴AC =ABsin ∠ACB =1.5sin 20° =1.50.3420 ≈4.39m ．∴CD =AC +AD =4.39+0.5=4.89≈4.9m ． 答：木板的长度约为4.9m ． 【说明】本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力．本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识．例4 如图7-6-1，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i =1：3，AB =10米，AE =15米．(i =1：3是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH的比)(1)求点B 距水平面AE 的高度BH ； (2)求广告牌CD 的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 【分析】(1)显然在Rt △ABH 中，通过坡度的概念求出BH 、AH ；(2)在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG =45︒，则CG =BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【解】(1)如图7-6-2，过B 作BG ⊥DE 于G ，在Rt △ABF 中， ∵i =tan ∠BAH =13=33，ABC D图7-5-1 图7-5-2图7-6-1C DB H A E45° 60° C DB H AE45°60°G 图7-6-2∴∠BAH =30︒. ∴BH =12AB =5； (2)由(1)得：BH =5，AH， ∴BG =AH +AE. 在Rt △BGC 中，∵∠CBG =45︒， ∴CG =BG． 在Rt △ADE 中，∵∠DAE =60°，AE =15，∴DE．∴CD =CG +GE ﹣DE--2.7m ． 答：宣传牌CD 高约2.7米． 【说明】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．例5 如图7-7-1，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角36°52′．已知山高BE 为56m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE ．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75) 【分析】根据楼高和山高可求出EF ，继而得出AF ，在Rt △AFC 中表示出CF ，在Rt △ABD 中表示出BD ，根据CF =BD 可建立方程，解出即可． 【解】如图7-7-2，过点C 作CF ⊥AB 于点F ． 设塔高AE =x ，由题意得：EF =BE -CD =56-27=29，AF =AE +EF =(x +29)， 在Rt △AFC 中，∵∠ACF =36°52′，AF =(x +29)， ∴CF =tan3652AF '︒=290.75x +=x +1163， 在Rt △ABD 中，∵∠ADB =45°，AB =x +56，∴BD =AB =x +56.∵CF =BD ，∴x +56=x +1163. 解得：x =52.答：该铁塔的高AE 为52米． 【说明】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般．图7-7-1图7-7-2例6 如图7-8，在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB =2(单位：km)．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号) 【分析】(1)过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD =x km ，先解Rt △PBD ，用含x 的代数式表示BD ，再解Rt △P AD ，用含x 的代数式表示AD ，然后根据BD +AD =AB ，列出关于x 的方程，解方程即可；(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，先解Rt △ABF ，得出BF =12AB =1，再解Rt △BCF ，得出BC=BF． 【解】(1)如图7-8-2，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．设PD =x ． 在Rt △PBD 中，∵∠BDP =90°，∠PBD =90°-45°=45°，∴BD =PD =x ． 在Rt △P AD 中，∵∠ADP =90°，∠P AD =90°-60°=30°，∴ADPD． ∵BD +AD =AB ，∴x=2，解得x1， ∴点P 到海岸线l 的距离为1)km ； (2)如图7-8-2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ． 在Rt △ABF 中，∵∠AFB =90°，∠BAF =30°，∴BF =12AB =1km ． 在△ABC 中，∠C =180°-∠BAC -∠ABC =45°． 在Rt △BCF 中，∵∠BFC =90°，∠C =45°，∴BCBFkm ， ∴点C 与点Bkm ． 【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生分析三角形的形状后，通过作高构造直角三角形是解题的关键．这一问题的解决，会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用．【复习建议】1．复习时，要注意对锐角三角函数定义的理解，特别是几个特殊角的三角函数值必须熟记，适当加强对勾股定理与锐角三角函数知识的应用．如例1、例2；2．应理解仰角、俯角、方位角、坡角和坡度(或坡比)的概念．如例4、例5和例6； 3．进几年苏州的中考中都以锐角三角函数的应用问题出现．因此在复习时应紧紧围绕基本图7-8-1B图7-8-2概念、基本图形展开，在重点夯实“双基”的同时，还要重视学生的书写的规范，养成良好的解题习惯；4．要注意数学思想方法的渗透、总结．如在引导学生通过实际问题构建数学模型，并把不同类型的问题归纳到基本图形上去解决问题时，要强调“转化”思想的作用；在不同问题情景下解决问题时，要指导学生重视应用数形结合思想等．如例3、例4、例5和例6；5．要注意培养学生数学建模能力及解决问题的能力，尤其对于常见的基本模型应使人人都要掌握的．在复习时我们可以通过串“典型图形”的方法，把在不同问题情境中的典型问题(如将图形分解为两个直角三角形的问题)串起来，以便培养学生数学建模能力及解决问题的能力．当然，我们应由易到难，逐步深入，照顾到不同类型的学生．。