思 考 ？
基础知识梳理
3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系 的两个 变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心 在具有线性相关关系的数据(x1， y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，回归 方程的截距和斜率的最小二乘估计公 式分别为：
基础知识梳理
(xi－ x )(yi－ y )
因而，我们可以认为“患色盲与性别 是有关的”. 8分 根据列联表所给的数据可以有 a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋ b＝480，c＋d＝520， a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1000，
a＋ b
c＋d
x2
总计
c a＋ c
d b＋ d
a＋b＋c＋d
基础知识梳理
n(ad－bc)2 K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ，用 它的大小可以决定是否拒绝原来的统计 假设H0，如果K2值较大，就拒绝H0，即 拒绝事件A与B无关 ．
三基能力强化
1．下列两个变量之间的关系哪个不 是函数关系( ) A．角度和它的余弦值 B．正方形的边长和它的面积 C．正n边形的边数和顶点角度之和 D．人的年龄和身高 答案：D
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【思路点拨】 (1)先根据已知计算 相关系数r，判断是否具有相关关系． (2)再利用公式求出回归方程进行回 归分析．
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【解】 (1) x ＝66.8， y ＝67.01，
10
x 2＝4462.24， y 2≈4490.34， xi2＝ 44794，
i＝ 1
yi2＝ 44941.93， xiyi＝ 44842.4，
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(2)对照数据，计算得 xi2＝86，
i＝ 1 4
3＋ 4＋5＋6 2.5＋ 3＋4＋4.5 x＝ ＝ 4.5， y ＝ ＝3.5， 4 4 已知 xiyi＝ 66.5，
i＝ 1 4
所以，由最小二乘法确定的回归方程的 系数为：
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xiyi－ 4 x y
i＝ 1 4
b＝
xi2－ 4 x 2
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考点四 独立性检验
利用图形来判断两个变量之间是 否有关系，可以画出三维柱形图、二 维条形图，仅从图形上只可以粗略地 估计两个分类变量的关系，可以结合 所求的数值来进行比较，作图时应注 意单位统一、图形准确，但不能给我 们两个分类变量有关或无关的精确的 可信程度，只有利用独立性检验的有 关计算，才能作出精确的判断．
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【解】 根据题目所给的数据作 出如下的列联表：
色盲 男 女 合计 38 6 44 不色盲 442 514 956 合计 480 520 1000
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根据列联表作出相应的二维条形 图： 6分
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从二维条形图来看， 在男人中患色盲的比例 38 6 为 ，要比女人中患色盲的比例 大． 480 520 38 6 其差值为| － |≈0.068，差值较大． 480 520
^
系的变量的一组数据(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程， 其中a，b是待定参数．
基础知识梳理
y －b x
基础知识梳理
相关关系与函数关系有什么 异同点？ 【思考·提示】 相同点： 两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种 确定的关系，相关关系是一种非 确定的关系．②函数关系是一种 因果关系，而相关关系不一定是 因果关系，也可能是伴随关系．
考点二 求回归直线方程
利用最小二乘法求回归直线方 程的一般步骤是：(1)作出散点图， 判断是否线性相关；(2)如果是，则 用公式求a、b，写出回归方程；(3) 根据方程进行估计．
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例2
下表提供了某厂节能降耗技术改 造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的 几组对照数据.
i＝ 1 i＝ 1
10
10
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xiyi－ 10 x y
i＝ 1 10
r＝ ( xi － 10 x )( yi － 10 y )
2 2 2 2 i＝ 1 i＝ 1 10 10
44842.4－ 10×4476.268 ＝ (44794－44622.4)(44941.93－44903.4) 79.72 ＝ ≈0.9804. 6611.5764
b＝
^ i＝ 1 n n
，a＝ y －b x
^
^
.
(xi－ x )2
i＝ 1
其中( x ， y )称为样本点的中心．
基础知识梳理
(3)相关系数 当 r>0 时，表明两个变量 正相关 ； 当 r<0 时，表明两个变量 负相关 ． r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的 线性相关性 越强 ． r 的绝对值越接近于 0 时， 表明两个变量之间几乎不存在线性 相关关系．通常|r|大于 0.75 时，认为两 个变量有很强的线性相关性．
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解：由(2)的回归方程及技改前生 产100吨甲产品的生产能耗，得降低 的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝ 19.65(吨标准煤)．
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考点三
线性回归分析
建立回归模型的步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量 是解释变量，哪个变量是预报变量． (2)画出确定好的解释变量和预报 变量的散点图，观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)．
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施化肥量 15 x
20
25
30
35
40
45
棉花产量 330 345 365 405 445 450 455 y (1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系．
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【思路点拨】 用施化肥量x作 为横轴，产量y为纵轴可作出散点图， 由散点图即可分析是否具有线性相关 关系．
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第3课时变量间的相关关系及 统计案例
基础知识梳理
1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从左上角 到右下角的区域．对于两个变量的这 种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从 左下角 到右上角 的区域，两个变量的这种相 关关系称为负相关．
基础知识梳理
三基能力强化
2．有关线性回归的说法，不正 确的是( ) A．相关关系的两个变量是非确 定关系 B．散点图能直观地反映数据的 相关程度 C．回归直线最能代表线性相关 的两个变量之间的关系 D．散点图中的点越集中，两个 变量的相关性越强 答案：D
三基能力强化
3．(教材习题改编)对于事件A和事件B， 通过计算得到K2的观测值k≈4.514，下列说法正 确的是( ) A．有99%的把握说事件A和事件B有关 B．有95%的把握说事件A和事件B有关 C．有99%的把握说事件A和事件B无关 D．有95%的把握说事件A和事件B无关 答案：B
i＝ 1
n
决问题． (1)利用公式 b＝
， a＝ y －
xi2－ n x 2
i＝ 1
n
b x 来计算回归系数，有时为了方便，常制表对应 出 xiyi， xi2，以便求和应用公式．
课堂互动讲练
互动探究 在本例条件下，若该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤．试根据(2)求出的线性回归方 程，预测生产100吨甲产品的生产能 耗比技改前降低多少吨标准煤？
三基能力强化
4．下列关系：①人的年龄与其拥有 的财富之间的关系；②曲线上的点与该 点的坐标之间的关系；③苹果的产量与 气候之间的关系；④森林中的同一树 木，其截面直径与高度之间的关系；⑤ 学生的身高与其学号之间的关系，其中 有相关关系的是________． 答案：①③④
三基能力强化
5 ． 已 知 回 归 方 程 为 y ＝ 0.50x － 0.81 ， 则 x ＝ 25 时 ， y 的 估 计 值 为 ________．
(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上 看大致在 一条直线附近 ，就称这两个 变量之间具有线性相关关系，这条直 线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到 回归直线的 距离的平方和最小的方法 叫做最小二乘法．
基础知识梳理
(2)回归方程
方程y＝bx＋a 是两个具有线性相关关
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例3
测得某国10对父子身高(单位：英 寸)如下： (1)对变量y与x进行相关性检验； (2)如果y与x之间具有线性相关关 系，求回归方程； (3)如果父亲的身高为73英寸，估 计儿子的身高．
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父亲 身高 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 (x) 儿子 身高 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 ( y)
i＝ 1
4
66.5－ 4×4.5×3.5 ＝ ＝0.7， 2 86－ 4×4.5
a＝ y －b x ＝ 3.5－0.7×4.5＝0.35. ^ 因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
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【名师点评】 因本题中y对x的关系呈 线性关系，故可用一元线性相关的方法解
xiyi－ n x y
【解】 (1)散点图如图所示，
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(2)由散点图知，各组数据对应点 大致都在一条直线附近，所以施化肥 量x与产量y具有线性相关关系．
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【名师点评】 两变量具有相关关 系但不一定是线性相关，所以当画出的 点明显在一条曲线附近时，两变量也具 有相关关系，但不是线性相关的．
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例4 (解题示范)(本题满分12分) 在调查的480名男人中有38名患 有色盲，520名女人中有6名患有色 盲，分别利用图形和独立性检验的方 法来判断色盲与性别是否有关？你所 得到的结论在什么范围内有效？