第二章、第三章练习题一、分布函数和概率密度1．若连续型随机变量X 的分布函数为,0,()10,0xx F x x x ⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则密度函数f ()x = ; f (2)= ; P ｛X<3｝= ；P ｛－2<X<5｝= ;2.（1）设随机变量X 的概率密度为23,0A()0,x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它，则常数A = .（2） 设随机变量X 的概率密度为21(1),12()0,A x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，则常数A = .(3)随机变量X 有密度3,01()0Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它,则A= .(4) 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其他，且()0.784P X a ≥=，则常数A = ,a = .3.设X 的分布函数F(x)，则下列说法正确的是（ ） （A ）F(x)单调递减；(B)()0F +∞= (C) ()0F -∞= (D)()1F x dx +∞-∞=⎰4.设X 为连续型随机变量，分布函数是F (x )，若a 为常数，则下列等式中成立的是（ ）.A. ()()B. ()()C. ()()D. ()1()P X a F a P X a F a P X a F a P X a F a ≤=≥=====-5.设()()()()-()X Y Z X Y F x F y X Y F z aF z bF z =，分别为、的分布函数，若是某一随机变量的分布函数，则a,b 应满足（ ）A.a+b=2B.a-b=0C.a-b=1.D.a=b6. 设X 的概率密度为f(x)，则下列说法不正确的是（ ）（A ）()1f x dx +∞-∞=⎰；(B)())xf x dx F x -∞=⎰（(C) ()0f x ≥ (D) f(x)单调不增7. 设X 的分布函数和概率密度分别为F(x)和f(x)，则下列说法不正确的是（ ） （A ）()1f x dx +∞-∞=⎰；(B)())xf x dx F x -∞=⎰（(C) ()0F -∞= (D) f(x)单调不增8. 设随机变量X 的分布函数为 31,0(x)0,xe x F -⎧⎪->=⎨⎪⎩，其他X 的密度函数为f(x)，则f(3)= .的分布函数为 ，= . 二、常见离散和连续型随机变量的分布1.若[]~1,5X U -，则X 的概率密度f(x)= ,P ｛X<4｝=（ ）.2.(1)设随机变量X ～π (6)，则(4)P X =＝ 。

(2)某一公安局在长度为t （小时）的时间间隔内收到的紧急呼救次数 X ～π (0.5t)，则该公安局在某一天的中午12时至下午4时未收到紧急呼救的概率为 ,收到3次紧急呼救的概率为 。

（3）设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ= ,(4)P X =＝ 。

（4）设离散型随机变量X 的分布律为：,...)2,1,0(!3)(===k k a k X P k，则a =_______，=≤)1(X P 。

3. 若(3,0.1)X B ，则X 的分布律为 ；P ｛X=2｝= .4.设(),2~2,σN X 且5.0)40(=<<X P ，则()=<0X P （ ）(A) 0.65(B) 0.45 (C) 0.95 (D) 0.255.设2~(3,2)X N ，则32X Y -=服从的分布为 ,P{Y ≤0}= ；若随机变量X ~N (0,42), 且P {X ＞1}=0.4013, Φ (x )为标准正态分布函数, 则Φ(0.25)=__________.6.设随机变量X ～N (2, 4),Φ(x )为其分布函数, 已知{0}P X <=0.1587, 则Φ(1)＝( ).(A) 0.1587 (B) 0.5 (C) 0.8413 (D) 以上都不对 7.设随机变量X ～N (3, 16),则P ｛4<X ≤8｝= 。

8.设(),10~,N X 令2--=X Y ，则~Y （ ）(A) )1,2(--N(B) )1,0(N(C) )1,2(-N(D) )1,2(N 9.随机变量 X ～N (2, 4), Y ～N (1, 3),X 与Y 相互独立，则24X Y +（ ）10. (1)若X的概率密度为()2218f ()x x --=，则X N( ).(2) 设随机变量2~(,)X N μσ,且(6)(2)p X P X <=>,密度函数()f x有极大值，则有X N( ). 11. 若X 服从参数为2的指数分布 ,则X 的概率密度为 .12. 设X 的概率密度为131,0f ()30,0x e x x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则X 服从参数为 的指数分布.13. 某电子元件寿命X(小时)的概率密度为f(x)=-10001e ,0,10000,0,xx x ⎧≥⎪⎨⎪<⎩则这种电子元件能使用2000小时以上的概率是____________.14. .设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它10,0,3)(2x x x f ，设Y 表示对X 的10次独立观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则)2(=Y P ＝ 0.24 。

15. 某种型号的电子的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧>=其它10001000)(2x x x f现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。

任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为++150021500100012(1500)1000()3P X dx x x∞∞>==-=⎰令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”,则)32,5(~B Y ，Y 的分布律为5521()()(),0,1,2,3,4,5.33k k k P Y k C k -==⋅⋅=因此，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P16.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为：51,0()50,xX e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。

他一个月要到银行5次。

以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律。

并求P （Y ≥1）。

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为2551010101(10)()5x xX P X f x dx e dx ee +∞+∞--+∞->===-=⎰⎰因此，2~(5,).Y B e -Y 的分布律为：()2255()(1),(1,2,3,4,5k k P Y k e e k k ---⎛⎫==-= ⎪⎝⎭）因此，25(1)1(1)1(0)1(1)P Y P Y P Y e -≥=-<=-==--三、一维随机变量的函数的分布1.设X 的分布函数为()x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为（ ）(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3131y F (B) ()13+y F (C) 1)(3+y F(D)()3131-y F 2.设X 的概率密度为()f x ，则13+=X Y 的概率密度为（ ）3.设随机变量X 的分布函数为F X（x ），则24+=X Y 的分布函数F Y （y ）为-------------( )(A) 1()22X F y + (B) 1(2)2X F y +(C) (2)4X F y - （D ）(24)X F y - 设X 的概率密度为()f x ，则24+=X Y 的概率密度为（ ） X 2 4 5 P 0.20.60.2写出Y=2X 的分布律： .5.设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y =2X -1，则Y 的概率密度为（ ）A ．1,11,()20,,Y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 B ．1,11,()0,,Y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他 C ．1,01,()20,,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 D ．1,01,()0,,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他四、二维随机变量1. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y ),则{022<y<4}P x <<=，( )424-22242.(,) .(,).(,) .(,)A dx f x y dy B dx f x y dy C f x y dx D f x y dy+∞∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y ),则{0}P x >=( )--.(,) .(,).(,) .(,)A dx f x y dyB dx f x y dyC f x y dxD f x y dy +∞+∞+∞+∞-∞∞∞+∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（ ）则c = A ．112 B ．16C ．14D ．134.下列叙述正确的是（ ）A.f(x,y)=3可以作为二维随机变量（X,Y ）的密度函数；B.二维随机变量的分布函数F(x,y)是变量x 和y 的不减函数；C. 二维随机变量的分布函数F(x,y)具有性质(,)1F ∞∞= ；D. 对二维随机变量的密度函数f (x,y)有：(,)=1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰5. 已知（X,Y ）的联合概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y 的概率密度为 .6.已知（X,Y ）的分布律为求(1)求a 的值；（2）求2X+Y 的分布律；（3）求P{X+Y ≤3};（4）X,Y 的边缘分布律;（5）计算Y=2时X 的条件分布律.（7）判断X 、Y 是否相互独立.西南xx 大学课 程 设 计 报 告课程名称： 高频电路课程设计 设计名称： 振幅调制电路的设计与制作姓名：学号:班级：指导教师：起止日期：西南xx大学信息工程学院制。