第四章 流体运动学和流体动力学基础【４-２】 已知平面流动的速度分布规律为j y x xi y x y v 222222+++-=πΓπΓ式中Γ为常数。

求流线方程并画出若干条流线。

【解】 由题设，()222,y x y y x v x +-=πΓ,()222,y x xy x v y+=πΓ 代入流线的微分方程()()t z y x v yt z y x v x y x ,,,d ,,,d =得22222d 2d y x x y y x yx+=+-πΓπΓxy y x d d -=yy x x d d -=⎰⎰-=y y x x d dC y x +-=222121'22C y x =+【4-4】 已知流场的速度分布为k xy j y i xy v +-=3231（１)问属于几维流动?（2)求(x , y , ｚ）=(１， 2, ３）点的加速度。

【解】 （1)由于速度分布可以写为()()()k y x v j y x v i y x v v z y x,,,++= (１) 流动参量是两个坐标的函数,因此属于二维流动。

（２）由题设，()2,xy y x v x = (2)()331,y y x v y -= (3)()xy y x v z =, (４)()()()()4322223222310231031d d xy xy y y xy xy zxyxy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a xz x y x x x x x =+⋅-+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂== (５）()52333332331031003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t zv v yv v xv v tv tv a y zy yy xy y y =+-⋅-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂== (６)()()()()3323232031031d d xy x y y xy xy zxy xy y y xy x xy xy t z vv y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z =+⋅-⋅+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==(7)将x =1,y=2，z =3代入式(５)(６)(7），得31621313144=⨯⨯==xy a x 3322313155=⨯==y a y 31621323233=⨯⨯==xy a z【４-15】 图4-２8所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系式。

图４－２８ 习题4-15示意图【解】 列1－1、2－2断面的能量方程:w a a h gp z g v g p z g v +++=++ραρα222221121122 (1） 不计损失,ｈw ＝0,取α1=α２=1，则gp z g v g p z g v ρρ2222112122++=++ (2） g v g v g p z g p z 2221222211-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ρρ (3） 设液体ρm 左侧界面的坐标为z ３,由流体静力学基本方程,得()()gH H z z g p z z g p m ρρρ+--+=-+322311 （４)()()ggH H z z g pz z g p m ρρρρ+--+=-+322311 (５） ρρρρH H z g pz g p m +-+=+2211 (６) H z g p z g p m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12211ρρρρ (7) 由式（3）(7)，得g v g v H m 2212122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρρ (8) 由于连续方程2211v A v A = (９)2114d A π=2224d A π=(10) 222121v d v d = (1１)222112d d v v = (12)由式（8)，得212212v v H g m -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρρ (1３） 将式(１2)代入式(13），得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11242412121222211d d v v d d v H g m ρρ (１４)112424121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d d gH v m ρρ (15) 2142411112⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d d gH v m ρρ (１6)流量为21414221424121111241124⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d d gH d d gH d q m m V ρρπρρπ (17) 即()[]()()21414211124⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=d d gH q m V ρρπ （1８)【４-16】 按图4-２9所示的条件求当H =3０ｃｍ时的流速v 。

[1．085m ／s]图4-２9 习题4-16示意图【解】 设皮托管入口前方未受扰动处为点1,皮托管入口处为点2，水与测量液体左侧界面处为点3，水与测量液体右侧界面处压强为点4，水与测量液体左侧界面与静压管入口处距离为x 。

由于在同一流线上，gp z g v g p z g v O H 2222O H 11212222ρρ++=++ (1） 根据静压强分布⎪⎭⎫⎝⎛++=x d g p p 2O H 312ρ (2)⎪⎭⎫⎝⎛+++=H x d g p p 2O H 422ρ （３）gH p p R 43ρ+= （4）在方程（１)中v 1=v ,z 1＝ｚ２,v 2＝0，则1 23 4212O H 22p p v =+ρ (５)方程(3)减去方程(２)，得gH p p p p O H 34122ρ+-=- (6)将方程(4)(5)带入(６)，得gH gH v O H R 21O H 222ρρρ+-= (7)则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=O H R 212ρρgH v (8) ()()m/s 1.08488.013.080665.92=-⨯⨯⨯=v (9)【习题4-２４】 连续管系中的9０º渐缩弯管放在水平面上,管径d 1=１5cm ，d 2=7.5c ｍ，入口处水的平均流速v 1＝2.5m/ｓ,静压p １e =６．8６×104Ｐa(计示压强)。

如不计能量损失,试求支撑弯管在其位置所需的水平力。

【解】根据牛顿运动定律,支撑弯管在其位置所需的水平力等于管道给流体的作用力。

令xo y 平面为水平面,入口段沿ｘ轴负半轴,出口段沿ｙ轴正半轴，弯头在原点,建立坐标系。

(１) 沿ｘ方向的外力有:由入口压强ｐ1e 引起的压力p 1e Ａ2;由管道给流体的作用力R 的分力Ｒx 。

所以x e xR A p F-=∑11系统内流体的动量沿x 方向的变化为：()()1120v q v v q V ax ax V -=-ρρ由x 方向动量方程()∑=-x ax ax V F v v q12ρ得()1110v q R A p V x e -=-ρ111v q A p R V e x ρ+= (１）(2) 沿ｙ方向的外力有:由p 2ｅ引起的压力p ２e A １；由管道给流体作用力R 的分力R y 。

所以22A p R Fe y y-=∑系统内流体的动量沿y 方向的变化为：()()0212-=-v q v v q V ay ay V ρρ由y 方向动量方程()∑=-y ay ay V F v v q12ρ得()0222-=-v q A p R V e y ρ222v q A p R V e y ρ+= （２)（３) 根据连续方程2211V v A v A q == （3）其中,4211d A π=，4222d A π=,则2112A v A v =(4) (４） 列入口、出口断面的能量方程:w e e h gp z g v g p z g v +++=++ραρα222221121122 不计损失,h w =0，取α1=α2=１,z 1＝ｚ2,则gp g v g p g v e e ρρ22212122+=+ (5) 得()e e p v v p 1222122+-=ρ(６)(5） 支撑弯管在其位置所需的水平力：22y x R R R += (７）由(１)(2)（３）(4）（6)(7),得4211d A π=4222d A π=11V v A q =2V2A q v =()e e p v v p 1222122+-=ρ111v q A p R V e x ρ+= 222v q A p R V e y ρ+=22yx R R R += 代入数值,得R =14２7.8 (N)【习题4-29】 如图４-36所示,一股射流以速度v ０水平射到倾斜光滑平板上，体积流量为q V0。

求沿板面向两侧的分流流量q Ｖ1与ｑV2的表达式,以及流体对板面的作用力。

忽略流体撞击的损失和重力影响,射流的压强分布在分流前后都没有变化。

图4-３6 习题4－29、4－3０示意图【解】 当射流接触平板后,将沿平板表面分成两股射流。

取A0截面为射流进入冲击区的断面，A1与A2截面为射流冲击平板后离开冲击区的断面。

由于是平面流动并忽略撞击损失,射流内压力在分流前后又无变化,所以021v v v == (1）进入断面Ａ0的速度v ０,可分解为沿板面方向的v 0cos θ和沿板面法线方向的ｖ0sin θ沿板面方向，流体没有受力；沿板面法线方向，设流体受到的作用力为Ｆ。

沿板面方向列写动量方程()0cos 000201=--θρρρv q v q v q V V V(２)沿板面法线方向列写动量方程()F v q V =--θρsin 000 （３)又有021V V V q q q =+ (4）解方程组（2)(4），得012cos 1V V q q θ+=（5) 022cos 1V V q q θ-=（6） 由式(3）,得θρsin 00v q F V = (7)根据牛顿第三运动定律，流体对板面的作用力与流体受到的作用力大小相等，方向相反，即θρsin '00v q F V -= (8)【习题４-30】 如图4-36所示的流动，如果沿一侧的流动的流体流量为总流量的４5％，问平板倾斜角θ多大？【解】 由上一题的结论022cos 1V V q q θ-=得45.02cos 102=-=θV V q q 则1.0cos =θ'168484.26 ==θ【习题4－31】 如图4－37所示,平板向着射流以等速ｖ运动，导出使平板运动所需功率的表达式。