第四章 流体运动学和流体动力学基础【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为j yx xi y x y v 222222 式中Γ为常数。

求流线方程并画出若干条流线。

【解】 由题设， 222,y x y y x v x ， 222,y x xy x v y代入流线的微分方程t z y x v yt z y x v x y x ,,,d ,,,d得22222d 2d y x x y y x yxxy y x d d yy x x d d y y x x d dC y x 222121'22C y x【4-4】 已知流场的速度分布为k xy j y i xy v 3231（1）问属于几维流动？（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。

【解】 （1）由于速度分布可以写为k y x v j y x v i y x v v z y x,,, (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。

（2）由题设，2,xy y x v x (2)331,y y x v y (3)xy y x v z , (4)4322223222310231031d d xy xy y y xy xy zxy xy y y xy x xy xy t z vv y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x(5)52333332331031003131313131d d y yy y z xy y y y y x xy y t zv v yv v xv v tv tv a y zy yy xy y y(6)3323232031031d d xy x y y xy xy zxy xy y y xy x xy xy t z vv y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z(7)将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得31621313144xy a x 3322313155y a y 31621323233 xy a z【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系式。

图4-28 习题4-15示意图【解】 列1-1、2-2断面的能量方程：w a a h gp z g v g p z g v 222221121122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则gp z g v g p z g v 2222112122 (2)g v g v g p z g p z 2221222211(3) 设液体ρm 左侧界面的坐标为z 3，由流体静力学基本方程，得gH H z z g p z z g p m 322311 (4)ggH H z z g pz z g p m 322311 (5) H H z g pz g p m 2211 (6) H z g p z g p m12211 (7) 由式(3)(7)，得g v g v H m 2212122(8) 由于连续方程2211v A v A (9)2114d A2224d A(10) 222121v d v d (11)222112d d v v (12)由式(8)，得212212v v H g m(13) 将式(12)代入式(13)，得11242412121222211d d v v d d v H g m (14)112424121d d gH v m (15) 2142411112d d gH v m (16)流量为21414221424121111241124d d gH d d gH d q m m V (17) 即21414211124d d gH q m V (18)【4-16】 按图4-29所示的条件求当H =30cm 时的流速v 。

[1．085m ／s]图4-29 习题4-16示意图【解】 设皮托管入口前方未受扰动处为点1，皮托管入口处为点2，水与测量液体左侧界面处为点3，水与测量液体右侧界面处压强为点4，水与测量液体左侧界面与静压管入口处距离为x 。

由于在同一流线上，gp z g v g p z g v O H 2222O H 11212222 (1) 根据静压强分布x d g p p 2O H 312 (2)H x d g p p 2O H 422 (3)gH p p R 43 (4)在方程(1)中v 1=v ，z 1=z 2，v 2=0，则212O H 22p p v (5)方程(3)减去方程(2)，得gH p p p p O H 34122 (6)将方程(4)(5)带入(6)，得gH gH v O H R 21O H 222(7)则1 23 4O H R 212 gH v (8) m/s 1.08488.013.080665.92 v (9)【习题4-24】 连续管系中的90o 渐缩弯管放在水平面上，管径d 1=15cm ，d 2=7.5cm ，入口处水的平均流速v 1=2.5m/s ，静压p 1e =6.86×104Pa （计示压强）。

如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力。

【解】根据牛顿运动定律，支撑弯管在其位置所需的水平力等于管道给流体的作用力。

令x oy 平面为水平面，入口段沿x 轴负半轴，出口段沿y 轴正半轴，弯头在原点，建立坐标系。

（1） 沿x 方向的外力有：由入口压强p 1e 引起的压力p 1e A 2；由管道给流体的作用力R 的分力R x 。

所以x e xR A p F11系统内流体的动量沿x 方向的变化为：1120v q v v q V ax ax V由x 方向动量方程x ax ax V F v v q12得1110v q R A p V x e111v q A p R V e x (1)（2） 沿y 方向的外力有：由p 2e 引起的压力p 2e A 1；由管道给流体作用力R 的分力R y 。

所以22A p R Fe y y系统内流体的动量沿y 方向的变化为：0212 v q v v q V ay ay V由y 方向动量方程y ay ay V F v v q12得0222 v q A p R V e y222v q A p R V e y (2)（3） 根据连续方程2211V v A v A q (3)其中，4211d A，4222d A，则2112A v A v(4) （4） 列入口、出口断面的能量方程：w e e h gp z g v g p z g v 222221121122 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，z 1=z 2，则gp g v g p g v e e 22212122 (5) 得e e p v v p 1222122(6)（5） 支撑弯管在其位置所需的水平力：22yx R R R (7)由(1)(2)(3)(4)(6)(7)，得4211d A4222d A11V v A q2V 2A q ve e p v v p 1222122111v q A p R V e x 222v q A p R V e y22y x R R R代入数值，得R =1427.8 (N)【习题4-29】 如图4-36所示，一股射流以速度v 0水平射到倾斜光滑平板上，体积流量为q V0。

求沿板面向两侧的分流流量q V1与q V2的表达式，以及流体对板面的作用力。

忽略流体撞击的损失和重力影响，射流的压强分布在分流前后都没有变化。

图4-36 习题4-29、4-30示意图【解】 当射流接触平板后，将沿平板表面分成两股射流。

取A0截面为射流进入冲击区的断面，A1与A2截面为射流冲击平板后离开冲击区的断面。

由于是平面流动并忽略撞击损失，射流内压力在分流前后又无变化，所以021v v v (1)进入断面A0的速度v 0，可分解为沿板面方向的v 0cos θ和沿板面法线方向的v 0sin θ沿板面方向，流体没有受力；沿板面法线方向，设流体受到的作用力为F 。

沿板面方向列写动量方程0cos 000201 v q v q v q V V V (2)沿板面法线方向列写动量方程F v q V sin 000 (3)又有021V V V q q q (4)解方程组(2)(4)，得012cos 1V V q q(5) 022cos 1V V q q(6) 由式(3)，得sin 00v q F V (7)根据牛顿第三运动定律，流体对板面的作用力与流体受到的作用力大小相等，方向相反，即sin '00v q F V (8)【习题4-30】 如图4-36所示的流动，如果沿一侧的流动的流体流量为总流量的45％，问平板倾斜角θ多大?【解】 由上一题的结论022cos 1V V q q得45.02cos 102V V q q 则1.0cos'168484.26【习题4-31】 如图4-37所示，平板向着射流以等速v 运动，导出使平板运动所需功率的表达式。

图4-37 习题4-31示意图【解】 由上一题的结论，在平板不运动的情况下，流体对板面的作用力为sin '00v q F V (1)设射流的的截面积为A 0，则000v A q V (2)代入式(1)sin sin '200000v A v v A F (3)平板向着射流以等速v 运动，将坐标系建立在平板上，则射流的速度为v v v 0' (4)用v ’代替式(3)中的v 0，得sin '200v v A F (5)此例在水平方向上的分力为2200200sin sin sin sin '''v v A v v A F F (6)平板在水平方向上等速运动，根据牛顿第一运动定律，使平板运动施加的力应为2200sin ''v v A F F (7)因此，使平板运动所需功率为22002200sin sin v v v A v v v A Fv P (8)由式(2)得0v q A V(9) 无论平板是否运动，A 0保持不变，将式(9)代入式(8)，得22000sin v v v v q P V (10)。