数值分析总结第二章数值分析基本概念教学内容：1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差的计算（估计）的基本方法。

2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题介绍；病态问题和不稳定算法的实例分析。

3.数值计算的几个注意问题避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法。

1.数值分析简介数值分析的任务数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科 ● 数值分析的过程构造算法、使用算法、分析算法2. 数值计算的基本概念● 误差概念和分析误差的定义：设x 是精确值，p 是近似值，则定义两者之差是绝对误差: a x p ∆=-由于精确值一般是未知的,因而Δ不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限|-|x p εε<称为绝对误差限。

相对误差定义为绝对误差与精确值之比ar x∆∆=ar xη∆∆=<称为相对误差限误差的来源：舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。

带来舍人误差。

有效数字 对于a=a0 a1 … am . am+1 … am+n(a0≠0) 的近似数， 若|Δ|≤0.5x10-n ，则称a 为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a 的有效数字。

有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字 有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。

推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。

推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：例:计算y = ln x 。

若x ≈ 20，则取x 的几位有效数字可保证y 的相对误差 <120.10mn x a a a =±⨯1102m nx x *-∆=-≤⨯120.10mn x a a a =±⨯15()10n r x a -∆≤⨯0.1% ?截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。

●数值计算的算法问题“良态”问题和“病态”问题在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。

病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。

数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。

稳定算法和不稳定算法如果用数值方法计算时,舍入误差对结果影响小的算法称为稳定算法。

否则称为不稳定算法。

●数值计算应注意的问题第三章线性方程组求解的数值方法教学内容：1.高斯消元法消元法的实现过程；主元问题。

2.矩阵分解矩阵LU分解的一般计算公式；利用LU分解的线性方程组求解方法；Cholesky分解；Matlab的Cholesky分解函数。

3.向量范数与矩阵范数向量范数及其性质；矩阵函数及其性质；常用范数形式。

4.线性方程组的迭代法求解迭代求解的思路；Jacobi迭代法；高斯_赛德尔迭代法；松弛法；迭代法的收敛性。

5.方程组的病态问题与误差分析线性方程组解的误差分析；条件数和方程组的病态性。

消元法： 问题：消去法是按照系数矩阵的主对角线上的元素（主元）进行消元。

从而可能出现： （1）某个主元为零，导致消元过程无法进行。

（2）当某个主元的绝对值很小时，计算结果误差很大。

定理：若A 的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。

全主元消去法每一步选绝对值最大的元素为主元素。

列主元消去法省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵三角分解法,||max ||0;k k i j ij k i j na a ≤≤=≠,||max ||0k i k ik k i na a ≤≤=≠11121n21222n 313212(1)nn ( 111U 1n n n n Gauss LU A LU L u uu l uul l l ll u -=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由消去法加上列主元或全主元）有分解：由：得到计算公式：1112131411121314212122232422234431323132333433344142434142434444100010001000100a aa a u uu u l a a a a uu u l l a a a a uu l lla aaau⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112131421112112222113232114243111311232223113322333311432243441114112422241134223433341144224433444u uu u l u l u u l u u l u u l u l u l u l u l u u l u l u u l u l u l ul u l u l ul u l u l u u⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥+++++⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦11i1111, j 1, ,n, i 2,, njji u a l a u ====k-1kj km m 1k-1ik im kk m 12, 3,, j k ,, n( )/ i k 1 ,, nkj mj ik mk k n u a l u l a l u u ====-==-=+∑∑对计算算法：Cholesky 分解：回顾对称正定矩阵的定义和性质。

由对称性推出：定理：设矩阵A 对称正定，则存在非奇异下三角阵L 使得T A LL = 。

若限定L 对角元为正，则分解唯一。

Matlab 中的Cholesky 分解函数：chol （）11-11, 2, 3,,(1) i iijijj i n Y y by y b l ===-=∑解：1 ,1, , 1(2) nnnni i ij j iiij n i n y x xuy x u x u+==⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-∑解：TA LL =向量和矩阵的范数为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，引进向量（矩阵）的范数的概念。

向量范数 定义：n R 空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件：常用范数：定理：(2)||||||||||x x αα=⋅Cα∈(齐次性)(3)||||||||||||x y x y +≤+（三角不等式)(1)||||0;||||00x x x ≥=⇔=,nxy R ∈（正定性)11nii xx ==∑1/2221n i i x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑1/1pn p i pi xx =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑max iixx ∞=n R 上一切范数都等价。

矩阵范数 定义：n m R ⨯空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件：(4)* || AB || ≤ || A || · || B || 常用矩阵范数： Frobenius 范数：由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A ∈ R n ⨯n 的p 范数:,n mAB R ⨯∈(1)||||0;||||00A A A ≥=⇔=(2)||||||||||A A αα=⋅(3)||||||||||||A B A B +≤+||||F A =1||||||||||||maxmax ||||||||p x p p px pAx A Ax x ≠===谱半径：矩阵A 的谱半径记为ρ (A ) =max i iλ，其中λi 为A 的特征根。

定理：对任意算子范数 || · || 有 定理：若A 对称，则有2()A A ρ= 定理：若矩阵B 对某个算子范数满足 ||B || < 1，则必有(1)()2I B ±可逆。

（）特别有：11||||max ||i nnij j A a ≤≤∞==∑（行和范数） 111||||max ||j nnij i A a ≤≤==∑（列和范数）2||||A （谱范数 ）()||||A A ρ≤()111||||I B B -±≤-解线性方程组的迭代法 研究内容：● 如何建立迭代公式？ ● 收敛速度？● 向量序列的收敛条件？ ● 误差估计？ 思路：1(0)(1)()()() ()(,,) , (k=0,1,2,){}Tij n n n n n k k k k Ax b A a b b b x Mx gM n g R x R x Mx g x k x Ax b ⨯+====+∈∈=+=对线性方程组其中非奇异矩阵， 构造其形如的同解方程组，其中为阶方阵，。

任取初始向量代入迭代公式产生向量序列，当充分大时，以作为方程组的近似解，这就是求解线 M 性方程组的单步定常线性迭代法。

称为迭代矩阵。

收敛问题：()()()()()()() {} lim 0{} lim {}()(1,2,),({}k k k k k k k k ij ij k A n A n A A A A A AA a k A a n A A →∞→∞-=⋅====定义：设为阶方阵序列，为阶方阵，如果其中为矩阵范数，则称序列收敛于矩阵，记为定理：设)均为阶方阵，则矩阵序列收敛于矩阵的充()(1)()()(1)() lim (,1,2,,){}, lim lim[]k ij ij k k k k k k k k a a i j n x Mx g x x x x Mx g Mx gx A →∞++→∞→∞===+==+=+要条件为证明略。

定理表明，向量序列和矩阵序列的收敛可以归结为对应分量或对应元素序列的收敛。

若按产生的向量序列收敛于向量则有即是方程组x b =的解。

雅可比(Jacobi)迭代法高斯—塞德尔迭代法迭代法的收敛性lim 0()1 lim 0lim 0 ()0()[()] lim[()]0 ()11 ()1k k kk k k k k kkk A n A A A A A A A A A A A A ρρρρρρρε→∞→∞→∞→∞=<==≤⇒≤=≤<-<=定理：设为阶方阵，则的充要条件为。

证：必要性：若由矩阵收敛的定义知又因由极限存在的准则，有＝所以。

充分性。

若，取()0,21()()12,lim lim 0lim 0.kkk k k k k k A A A A A A A A A ρρρε→∞→∞→∞>⋅+≤+=<≤⇒≤=⇒=由上一定理知，存在一种矩阵范数，使得而12121111222 02 ,,, det()[()] det()1 det()()(1)1 () (1n nn nnM M M M M D L D U D L a a a ωλλλλλλρωωωωω--<<=≤<=--+-=-推论松弛法收敛的必要条件是。