数学美的内容数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。

美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。

随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称美、简洁美、统一美和奇异美。

1、对称美所谓对称性，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性，从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。

毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。

”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。

中国的建筑就很好的应用了数学的对称美，有许多的园林建筑都应用了这一点。

数学中的这种对称处处可见：几何中具有的对称性（中心对称、轴对称、镜象对称等）的图形很多，都给我们一种舒适优美的感觉。

几何变换也具有对称性。

杨辉三角更组成美丽的对称图案1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……分析：在杨辉三角的图案中每一行的除了首尾的数字是1以外，其他的数字是左上角和右上角的数字的和。

这样就构成了有规律的并且是成对称的形状的三角图案了。

集合运算中的下面两个公式的对称性也是极其优美的：C（A ）=CA CB C (A B ) =CA CB两个集合的并（交）的补集就是两个集合补集的交（并）。

数学的解题中也体现对称美：例1、解：原式=111111111×111111111=12345678987654321分析：等式的一边是九个1乘以九个1，另一边是九个数字的排列并且成对称的，结果也是九个数字组成的对称的结构，真是太出人意料了太美妙了例2、0×9+1=11×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111…………………分析：例2中也蕴涵着对称留给读者去体会。

此外代数中的对称多项式，有理系数的多项式方程无理根成对出现，实系数的多项式方程虚根成对出现，函数及其反函数图象的关系，线性方程组的距阵表示及克莱姆法则等都呈现出对称性。

还有一个类似对称的词匀称。

“匀称性”的概念可以看成“对称性”的概念的自然发展。

线段的黄金分割就是一个典型的例子，主要是因为由此构成的长方形给人以“匀称美”的感觉。

黄金分割比…也被誉为“人间最巧的比例”。

世界上许多著名的建筑广泛采用黄金分割的比例。

一些名画的主题，电影画面的主题大多放在画面的0.618处，给人以舒适的美感。

乐曲中较长一段一般是总长度的0.618，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处会使声音更甜美。

另外，黄金分割比在优选法中有着重要的作用。

2、简洁美汉语的语言要求言简意赅，同样数学作为逻辑性很强的学科它的语言表达也是简洁的。

简单性（或称简洁性）也是数学美的一个基本内容。

数学的简洁性是人类思想表达经济化要求的反映，它同样给人以美感。

爱因斯坦说过：“美在本质上终究是简单性。

”数学语言本身就是最简洁的文字，同时反映客观规律极其深刻，许多复杂的客观现象，总结为一定的规律时，往往呈现为十分简单的公式。

欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美”的典范。

世间的多面体有多少没有人能说清楚。

但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，令人惊叹不已。

在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。

比如：圆的周长公式：C=2πR 任意一个圆它的周长都满足这样的公式。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。

在所有的直角三角形中直角边和斜边都满足这样的关系。

正弦定理：ΔABC的外接圆半径R，则把三角形的边、角和它的外接圆的半径建立了简单的数学关系。

数学中绝大部分公式都体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。

正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。

如笛卡尔坐标系的引入。

对数符号的使用，复数单位的引入。

微积分的出现都体现了数学外在形式更简洁，内容更深厚。

著名的皮亚诺公式只用了三个不加定义的原始概念和五个不加证明的公理，显示了逻辑上的简洁。

由此产生的自然数理论是现代数学基础研究的起点，这三个原始概念是“自然数”，“1”，“后继（数）”；五个公理是：公理一：1是自然数，公理二：任何自然数的后继也是自然数，公理三：没有两个自然数有相同的后继，公理四：1不是任何自然数的后继，公理五：若一个有自然数组成的集合S含有1，且当S含有任一个自然数时，也一定含有它的后继，则S就含有全体自然数。

数学的简洁美还表现在形态上，即数学美的外部表现形态，是数学定理和数学公式(或表达式)的外在结构中呈现出来的美。

形态美的主要特征，在于它的简单性。

例如，英国科学家牛顿用F=ma概括了力、质量、加速度之间的定量关系；又如，德国科学家爱因斯坦用E=mc^2 揭示了自然界的质量和能量的转换关系；这里F=ma、E=mc^2就外在形式而论，都是非常简洁的，不失为数学形态美的范例。

再如，中国数学家和语言学家周海中关于梅森素数分布的猜测：当2^（2^n）<p<2^（2^（n+1））时，Mp有2^（n+1）－1个是素数（p为素数；n为自然数；Mp为梅森数）。

著名数学家张景中院士认为，“周氏猜测”以非常简洁、优美的形式揭示了数学之美。

3、统一美所谓统一美，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。

在数学中有好多数学统一性的例子。

例如，引入负数，有了相反数的概念之后，有理数的加法和减法得到统一，它们可以统一为代数和的形式。

有了倒数的概念，除以一个不等于零的数等于乘上它的倒数，于是乘法与除法得到了统一。

例如平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理均可统一到圆幂定理之中。

在体积计算中有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥及棱（圆）台的体积计算统一美反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。

数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。

数学概念、规律、方法的统一。

一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。

例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。

又如代数中的算术平均——几何平均定理、加权平均定理、幂平均定理、加权幂平均定理等著名不等式,都可以统一于一元凹、凸函数的琴森不等式。

在数学方法上，同样渗透着统一性的美。

例如,从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法。

数学中的公理化方法,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一。

数学理论的统一。

在数学发现的历史过程中，一直存在着分化和整体化两种趋势。

数学理论的统一性主要表现在它的整体性趋势。

欧几里德的《几何原本》,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。

布尔基学派的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的高度统一性上给人一美的启迪。

数学和其它科学的统一。

数学和其它科学的相互渗透，导致了科学数学化。

正如马克思所说的,一门科学只有当它成功的运用数学时,才算达到了真正完善的地步。

力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系。

科学的数学化使物理学与数学趋于统一。

建立在相对论和量子论两大基础理论上的物理学,其各个分支都离不开数学方法的应用,它们的理论表述也采用了数学的形式。

化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学过渡。

生物数学化使生物学日益摆脱对生命过程进行现象描述的阶段,从定性研究转向定量研究,这个数学化的方向,必将同物理学、化学的数学化方向一样,把人类对生命世界的认识提高到一个崭新的水平。

不仅自然科学普遍数学化了,而且数学方法也进入了经济学、法学、人口学、人种学、史学、考古学、语言学、文学等社会科学领域,日益显示出它的效用。

数学进入经济学领域最大的成就是本世纪出现的计量经济学。

数学进入语言学领域，使语言学研究经历了统计语言学、代数语言学和算法语言学三个阶段。

数学向文学的渗透,发现了数学的抽象推理和符号运算同文学的形象思维之间有着奇妙的联系。

4、奇异美人们提起数学的时候通常会说“奇妙的数学”，数学的学习和解题中也有一些非常规的奇妙的解法等等。

这些就是我们通常说的数学的奇异性。

徐利治教授说“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。

”弗兰西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。

”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。

一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。

数学审美对象的奇异性有以下几种典型表现形式。

奇异性是数学美的一个重要特征，它反映了显示世界中非常规现象的一个侧面，也是数学发现中的重要美学因素。

数学领域中的一些新的观念的产生，就是来自对奇异美的追求。

毕达哥拉斯学派认为任何数量都可表示成整数或两个整数的比，而无理数的发现无疑是一个奇异的结果。

它打破了原先的数的和谐性，被称为第一次数学危机。

奇异性常常和数学中的反例紧密相联，反例的产生则往往导致人们的认识能够的深化和数学理论的重大发展。

例如人们以为一切函数都是连续的，连续性不被人们所注目，当有间断点的函数出现以至于有著名的狄里克莱函数：D（x）= （x为有理数1时函数值等于1，x为无理数量函数值为0）出现时，由于它在实数轴上处处有定义，但却处处间断，这种奇异性的发现使人们对连续性的美妙之处看得更清楚了。

同样，当魏尔斯特拉斯给出处处连续而处处不可微的函数时，人们对可微的概念便有了更深刻的认识。

关于数学的奇异性，接下来我讲一个蒲丰用投针求圆周率的近似值的试验也是数学方法奇异性的一个典型例子。

有一天蒲丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的实验。

他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线，将纸铺在桌上，又拿出一些质量匀称长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便仍到纸上，蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一简单的除法，然后他宣布这就是圆周率的近似值，还说投的次数越多越精确。