一、已知描述系统的微分方程组如下所示：0611521343325543560.254X X X X X X X X X dX X X dtdX X X dtX X X -=-=-=+=+=+= （1）画出该系统的结构图（2）求传递函数60()()()G s X s X s =.解答：（1）对系统微分方程两边取拉普拉斯变换，得到对应的复数域形式的方程组如下：061152134332554356()()()()()()()()()0.25()()()4()()()()()()X s X s X s X s X s X s X s X s X s sX s X s X s sX s X s X s X s X s X s -=-=-=+=+=+=根据方程组可画出系统结构图如下：（2）下面根据梅森公式求传递函数60()()()G s X s X s =： 可见系统有2个单独回路：12111,0.2510.25141L L s s s =-=∙+++系统没有两两互不相交的回路，故111110.2510.25141i L s s s ∆=-=+-∙+++∑由图知，有4条前向通道111,10.251P s =∆=+ 221,141P s =∆=+3311,1410.251P s s =-∙∆=++ 4411,10.25141P s s =-∙∆=++根据梅森公式得46102111111()0.25141410.2510.25141111()10.2510.251414.258.251i ii P X s s s s s s s X s s s s s s s =∆+-∙-∙++++++==∆+-∙+++=++∑ 二、已知一控制系统的结构图如下，（1）确定该系统在输入信号()1()r t t =下的时域性能指标：超调量%σ，调节时间S t 和峰值时间P t ；（2）当()21(),()4sin3r t t n t t =∙=时，求系统的稳态误差。

解答：（1）由于只考虑输入信号()r t ，可以忽略()N t ，即()0N s = 系统开环传递函数为2188()4268G s s s s s ==++++系统闭环传递函数为2228()868()81()616168G s s s s G s s s s s ++Φ===++++++ 对比二阶系统标准闭环传递函数可知40.75n ωξ=⎧⎨=⎩（这里根据分母求，可以理解为分子上有比例因子）1.795100% 2.8%31(5%)psnt set sσξω===⨯===∆=（2）由题意知，该系统是个线性系统，满足叠加原理，故可以分别求取，()21()r t t=∙和()4sin3n t t=分别作用于系统时的稳态误差1ess和2ess，系统的稳态误差就等于12ess ess ess=+。

A）()21()r t t=∙单独作用时，由系统的开环传递函数知，系统静态误差系数1pK=，所以稳态误差1ess为11211pessK=⨯=+B）()4sin3n t t=单独作用时，系统的结构图为系统的闭环传递函数为：28(4)()616sss s+Φ=++频率特性为：28(4)()616jjjωωωω+Φ=+-当系统作用为()4sin3n t t=时，3ω=，所以28(34)3224(3) 2.0763163718j jjj j++Φ===⨯+-+2418(3)arctan arctan0.5564327j∠Φ=-=-系统的输出为：24(3)sin(3(3))8.56sin(30.5564)ess j t jt=⨯Φ+∠Φ=-所以系统的误差为：1218.56sin(30.5564)ess ess ess t =+=+-三、证明根轨迹分离点公式。

1111mnj i j i d z d p ===--∑∑ 证明：设控制系统结构图如图所示前向通道传递函数为：*11()()()fii Gqii s z G s Ks p ==-=-∏∏反馈通道传递函数为：1*1()()()kjj Hhjj s z H s K s p ==-=-∏∏则闭环传递函数为：*11*11()()()()1()()()()fhGiji j nm iji j Ks z s p G s s G s H s s p K s z ====--Φ==+-+-∏∏∏∏（3-1）其中***G HK K K =为开环系统根轨迹增益，,f l m q h n +=+= 由（3-1），闭环系统的特征方程为*11()()()0nmi ji j D s s p Ks z ===-+-=∏∏根轨迹在平面上相遇，说明闭环特征方程由重根，设重根为d。

根据代数方程中重根的条件，有()0,()0D s D s ∙== 即*11()()0nmiji j s p K s z ==-+-=∏∏*11()()0n m i j i j d s p K s z ds ==⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦∏∏ 或*11()()n miji j s p K s z ==-=--∏∏（3-2）*11()()n m i j i j d d s p K s z ds ds ==-=--∏∏（3-3） 式（3-3）除（3-2），得1111()()()()mnj i j i nmiji j d d s z s p ds ds s p s z ====--=--∏∏∏∏即11ln ()ln ()mnj i j i d s z d s p ds ds==--=∏∏（3-4）因为1111ln ()ln()ln ()ln()nni i i i mmj j j j s p s p s z s z ====-=--=-∑∏∑∏式（3-4）可写为11ln()ln()nm j i i j d s z d s p ds ds ==--=∑∑ 有1111nmi j i j s p s z ===--∑∑ 证毕。

四、单位反馈系统如图所示，其中21(),0()(22)G s a s s a s s =>+++为待定参数。

（1）设()0C G s K =>，已知系统四条根轨迹只有一个分离点（或会合点）-1，确定参数a 并画出根轨迹图。

（2）确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统稳定的K 值。

（3）确定系统输出无衰减振荡分量时的闭环传递函数。

解答：（1）由分离点的计算公式1111011d d a d j d j+++=++-++ 依题意，将分离点1d =-，代入上式得2a = 则开环传递函数2()(2)(22)KG s s s s s =+++a 、开环极点123,40,2,1p p p j ==-=-±数目4n =；系统有四条根轨迹；分别起始于开环极点，终止于无穷远点；b 、实轴上根轨迹段为(2,0)-；c 、渐近线与实轴的夹角为45,135,225,315αϕ= 渐近线与实轴的交点1ασ=-；d 、由已知，得分离点为-1；由以上计算得到的参数，绘制根轨迹如图所示：（2）根轨迹与虚轴的交点由1()0G s +=，得特征方程为4324640s s s s K ++++=列劳斯表如下：43210164452045s K s s KK s s K- 要与虚轴有交点，则有全零行，即20405K K -=⇒= 辅助方程：21,2550s s j +=⇒=±综上，与虚轴的交点是j ±，使闭环系统稳定的K 值范围应是05K <<。

（3）要使闭环系统的输出无衰减振荡分量，则闭环系统应无共轭复数极点，即闭环极点均为实极点。

显然只有1s =-点能满足要求，所以分离点处对应的四重实极点即为所求的闭环极点。

此时系统的闭环传递函数为：41()(1)s s Φ=+。

五、控制系统的结构图如图（a ）所示，其中1()G s 的频率特性如图（b ）（0,0T τ>>）（a ）控制系统结构图（b ）1()G s 的频率特性（1）写出1()G s 的表达式；（2）设221()G s s =，求出系统的开环传递函数； （3）画出系统的幅相频率特性曲线，并用Nyquist 稳定判据分析其稳定性。

解答：（1）由（b ）图知，环节1()G s 由一个惯性环节和一个一阶微分环节组成，其为：11()1Ts G s s τ+=+ （2）系统的开环传递函数2(1)()(1)K Ts G s s s τ+=+ （3）由（b ）图可以看出,T Nyquist τ>曲线（草图）如图所示：由图可以看出，Nyquist 曲线不包围(1,0)j -点，即0N =，而且0P =，所以系统稳定。

六、由实验测得某最小相位系统的幅频特性对数标图如图所示，试求： （1）系统的开环传递函数G(s)并画出系统的相频特性曲线； （2）计算系统的相角裕度γ和幅值裕度g K ；（3）闭环系统对单位阶跃输入和单位斜坡输入的稳态误差分别是多少？解答：（1）低频段渐近线的斜率为-20，故系统为Ⅰ型系统。

延长低频段渐近线，经计算得1ω=时，()20lg 40100L K K ω==⇒= 由ABC ∆知，11146640(lg5lg )5100.5/AB rad sωωω=-=-=⇒=由此可得系统的开环传递函数为100()(21)(0.21)G s s s s =++（相频特性曲线画草图就可以了）（2）由100()120.2c c c cA ωωωω≈=⨯⨯，求得系统的穿越频率 6.3/c rad s ω=18090arctan(2 6.3)arctan(0.2 6.3)47γ=--⨯-⨯=-根据()90arctan2arctan0.2180g g g ϕωωω=---=- ，得 1.58/g rad s ω= 系统在相交交界处的开环幅值为100()63.8820.2g g g gA ωωωω≈=⨯⨯幅值裕度为20lg ()36g g K A db ω=-=-（3）由于该系统不稳定，所以讨论稳态误差是无意义的。

七、某火炮指挥系统是一个单位负反馈系统，其开环传递函数为()(0.21)(0.51)KG s s s s =++，系统最大输出速度为2r/min ，输出位置的容许误差小于2度，求：（1）确定满足上述指标的最小K 值，计算该 K 值下的相位裕量和幅值裕量；（2）前向通路中串联超前校正网络0.41()0.081c s G s s +=+，试计算相位裕量。

解答：（1）系统为I 型系统，2360/6062A K ess ⨯===所以6()(0.21)(0.51)G s s s s =++可以求得3.53.5 3.5180()18090arctan arctan4.925c c G j ωγω==+∠=---=-令[]Im ()0G j ω=，得10.86()g g h G j ωω=== （2）加入串联校正后，开环传递函数为60.41()(0.21)(0.51)0.081s G s s s s s +=+++求得4.84.8 4.8 4.8 4.8180()180arctan 90arctan arctan arctan 20.22.52512.5c c G j ωγω==+∠=+----=八、设()(1)(0.251)o KG s s s s =++，设计串联校正装置，使系统满足下列性能指标：15,40,0.5c K s γω-≥≥≥ 。