L
π L : 2 x = π y 从A ( 0,0 ) 到B ,1 . 2
2
解： 因 ∂P = 6 xy
∂y
2
2 π2 3π 2 2 I = ∫ + ∫ = ∫ 0dx + ∫ 1 − 2 y + y dy = OA AB 0 0 4 4 ( x + y ) dx − ( x − y ) dy , L : y = −2 x 2 + 1从A -1,-1 到B 1,-1 . * 4 .计算 I= ∫ ( ) ( ) 2 2 L x +y
)
2 cos t dt
= − ∫5π
4
−
π
4
3π dt = 2
( x, y ) (1,0)
又在右半平面内有原函数：
( x + y ) dx − ( x − y ) dy
x2 + y 2
u ( x, y ) = ∫
x
y −x + y 1 y 1 dy = ln x − arctan + [ln ( x 2 + y 2 ) − ln x 2 ] = ∫ dx + ∫ 2 1 x 0 x + y2 x 2 1 y 2 2 = ln ( x + y ) − arctan ( x > 0) 2 x
5.验证 ( 2 x cos y + y 2 cos x ) dx + ( 2 y sin x − x 2 sin y ) dy在整个平面 上是某个函数u ( x, y )的全微分，并求出u ( x, y )的表达式.
解：
因
∂P ∂Q = −2 x sin y + 2 y cos x = , ∂y ∂x
3a 2 2π 2 3a 2 = ∫0 sin 2tdt = 16 8 3 2 = πa 8
∫ (1 − cos 4t ) dt
0
2π
2.计算 ∫ x 2 + y 2 dx + 5 x + y ln x + x 2 + y 2 C
2 2
(
)
dy,
C : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, 取顺时针。 解： 1 y dxdy = −5∫∫ dxdy = −5π 原式=- ∫∫ 5 + y − 2 2 2 2 x +y x +y D D
2 2 2 2
(
)
,
故做功与路径无关，
2 2 2 1 1
(1,1)
− kx x + y dx − ky x + y dy = −k ∫ x x + 1dx − k ∫ y 4 + y 2 dy
3 2 2 3 2 2
1 2 1 = − k ( x + 1) − k ( 4 + y 3 1 3
∂Q − 2 y cos x = , 故积分与路径无关 ∂x
π
1
解：
x+ y x − y ∂P x 2 − 2 xy − y 2 ∂Q P= 2 ,Q = − 2 , = = 2 2 2 x +y x + y ∂y ( x 2 + y 2 ) ∂x
所以在去掉负y轴的平面区域内积分与路径无关
取圆弧L1: x 2 + y 2 = 2, 顺时针从A到B,
x y 0 0
u ( x, y ) = ∫ 2 xdx + ∫ ( 2 y sin x − x 2 sin y ) dy = x 2 + y 2 sin x + x 2 ( cos y − 1) = y 2 sin x + x 2 cos y
6.设在半平面x > 0中，有一力场，力的大小与点到原点的距离 平方成正比，方向指向原点，证明在此力场中场力作功与路径 无关，并求质点从点 (1,1) 到点 ( 2,2 ) 时场力所作的功.
则 I= ∫
1 −π = ∫5π4 2 4
L1
( x + y ) dx − ( x − y ) dy = 1
x +y
2 2
∫ ( x + y ) dx − ( x − y ) dy 2
L1
(
2 cos t + 2 sin t − 2 sin t −
)(
) (
2 cos t − 2 sin t
3.计算I = ∫ ( xy 3 − e x ) dx + x 2 y 2 dy, L : y = 1 − x 2从A ( -1,0 ) 到B (1,0 )。
L
解：
I = −∫ −
L + AB
xy 3 − e x ) dx + x 2 y 2 dy + ∫ (
2 2 1 −1
AB
xy 3 − e x ) dx + x 2 y 2 dy (
= − ∫∫ (2 xy − 3 xy )dxdy + ∫
D
2 1 x
−e x ) dx (
1 = ∫∫ xy dxdy − ∫ e dx = − e −1 D e
4.计算I = ∫ ( 2 xy 3 − y 2 cos x ) dx + (1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 ) dy,
证：
x y F =k ( x + y ) , eF = − ,− x2 + y2 x2 + y2
2 2
F = F eF = −kx x 2 + y 2 , −ky x 2 + y 2
∂P kxy ∂Q 因 =− = , ( x > 0) 2 2 ∂y ∂x x +y
W=∫
( 2,2 )
第十一章
习题11-3
1. 利用曲线积分计算x = a cos3 t , y = a sin 3 t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 所围面积。
解：
1 S= 2
∫ − ydx + xdy =
L
D
1 2π −a sin 3 t ⋅ 3a cos 2 t ( − sin t ) + a cos3 t ⋅ 3a sin 2 t cos t ) dt ∫0 ( 2
( )
1 x −2 x = e −e 3
(
)
1 y = e − e−2 (0 , 0 ) 3
(1,1)
(
)
)
14 2k =− 3 1
2
7.设函数f ( x)具有一阶连续导数，且f ′(0) = 0.已知曲线积分
∫ (e
L
x
+ 2 f ( x) ydx − f ( x)dy与路径无关，若取L从A(0,0 )到B(1，， 1)
)
试求曲线积分. 解： ∂ [(e x + 2 f ( x) )y ] = ∂ (− f ( x) ), 得f ′( x) + 2 f ( x) = −e x ∂y ∂x − ∫ 2 dx x ∫ 2 dx dx + C = e − 2 x − 1 e3 x + C f ( x) = e ∫ − e e 3 1 1 −2 x 由f (0 ) = 0得C = ， (x ) = (e − e x ) f 3 3 (1,1) 1 x 2 − 2 x 1 −2 x 原式 = ∫ e + e ydx − (e − e x )dy (0 , 0 ) 3 3 3