A

A
几何相容条件：
l3
l1 A l2
l3
l1 cos

例2 图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）刚度 均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装到横梁 后，求两杆内力。 解: 装配后各杆变形 1杆伸长 2杆缩短
l1 l 2
A
1

2
l1 l 2
几何相容条件
FA FB 0
lt l F
lt l t
FB l L t EA
FB EAt
FB E t A
温度应力：
Q235低碳钢线膨胀系数为
1 2 .5 1 0
6
C
1
E 200 GPa
s 235 M Pa
FA 85kN
A
60kN 2.4m 40kN 1.2m
FB 15kN
C
B
1.2m

温度应力：超静定结构中，由于温度变 化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。
温度应力的计算：
B l
温度由 t1 t 2 , t t 2 t1
FA FB
A
A
l
l t
平衡方程 变形相容条件 物理方程
170 M Pa

2.5 t M Pa
t 80 C, 200 M Pa
伸缩节
伸缩缝
§6-3 扭转超静定问题
例3 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力 偶矩Me作用，求杆两端的支座反力偶矩。
Me
A C B
a
b
解：
A
Me
ɑ
MA 静力平衡方程为： 几何相容条件为：
5 ql 768 EI 48 EI
FB 2l 48 EI
3
相当系统 q A B FB P=ql C
在FB单独作用下
wB 3 FB l 3 6 EI
根据B点的实际挠度为0
11ql 4 5ql 4 FB l 3 0 96 EI 48 EI 6 EI
21 FB ql 16
A
4
q
B FB
解法二：将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束，几何相容条件为：
A
q
B l
A 0
M Al ql 0 3 EI 24 EI ql MA 8
2 3
MA A
q
B
例5 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短 梁CD加固。设二梁EI相同，求 (1) 二梁接触处的作用力； (2)加固前后B点挠度的比值； (3)加固前后AB梁最大弯矩的比值。
P
B C D A
a
a
解：(1)基本静定系如图 解： P
A
X1
D1 B
C
D
X1
几何相容条件为：
w D w D1
C D
X 1a wD 3 EI
3
P
A
X1
D1 B
A
X1
D1 B
A D1
P
B
X 1a 3 5 Pa 3 wD1 3EI 6 EI
w D w D1
X 1a wD 3 EI
多余约束并不“多余”，通过增加多余约束， 有效降低结构的内力及变形，可提高安全度。
2、超静定结构的类型 外力超静定结构 仅在结构外部存在多余约束，即支座反 力不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 内力超静定结构 仅在结构内部存在多余约束，即结构内力 不能全由静力平衡方程求出。
2、超静定结构的类型 混合超静定结构 内、外超静定兼而有之的结构。
§6-2 拉压超静定问题
D C B
如图所示，求三杆的轴力 问题: 这个结构是静定的？超静定的？
A F
超静定次数?
对A点分析：三杆的轴力与外力F构 成平面汇交力系。
2 3
平面汇交力系的独立平衡方程数是 未知力个数是 因此这个结构是 1 次超静定。
例1 已知: 1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚度为 E3A3, F，求各杆内力。 解: 分析A结点 FN1
M Bl ql 3 16 EI 3EI
q A A l
MB
P=ql C l/2 l/2
B
相当系统
MB
几何相容方程为: B1 B 2
M Bl M Bl ql ql 24 EI 3EI 16 EI 3EI
3 3
B
MB
P=ql C
3 ql 2 ql 2 5ql 2 MB 2 24 16 32
第六章 简单的超静定问题
(Simple Statically Indeterminate Problems)
§6-1 超静定问题及其解法
结构按静力学特性可以分成静定结构和超静定结构两类。
F A a B
如图所示，求固定端的约束反力 平面任意力系，通过静力学平衡方 程可以解出全部的三个约束反力。 若在C处增加一个约束 则无法仅通过静力学平衡方程求出 全部的四个未知力。
加固前B点挠度为：
3
2
3
wB0
8 Pa 3 EI
3
加固前后B点挠度的比值
w B1 w B 0 w B 39 wB0 wB0 64
(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值 加固前AB梁最大负弯矩 加固后AB梁最大弯矩 P
A
M 0 max 2 Pa
X1
D1 B
最大负弯矩
M1max M D1 Pa
3
X 1a 5 Pa w D1 3 EI 6 EI
3
3
5 X1 P 4
(2) 加固前后B点挠度变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
3
2
3
(2) 加固后B点挠度的变化值（变小）
25 Pa X 1a X 1a w B a 3 EI 2 EI 24 EI
B
2
P
例7 如图所示双跨简支梁受集中力F作用，求约束 反力，并画出剪力图和弯矩图。
q A l B l/2 l/2 P=ql C
解一： 以支座B为多余约束 在P单独作用下
wB1 11ql 96 EI
4
q A B l l/2
P=ql C l/2

4
在q单独作用下 4
wB 2 5 q 2l
Prestressed concrete Q: Let us assume that the prestressing force produces in the steel wires an initial stress 620 MPa. If the moduli of elasticity of the steel and concrete are in the ratio 12:1 and the cross-sectional areas are in ratio 1:50, what are the final stresses in the two materials? Steel: Concrete: 500MPa (tension) 10MPa (compression) P P P P
作剪力图和弯矩图
q A
11 ql 32
P=ql B l
21 ql 16
C l/2
11 ql 32
l/2
21 ql 32
21 ql 32
Fs
11 ql 32
11 ql 32
– +
5ql 2 32
M
0.06ql
2
+
11 2 ql 64
解二：以支座B阻止截面相对转 动为多余约束 q
B1
B2
M Bl ql 3 24 EI 3EI
C Me
B
b
MB
M A MB Me
AB AC CB 0
MA Me b l
M Aa MBb 即： 0 GI p GI p
MB Me a l
§6-4 简单超静定梁 用“多余未知力”代替“多余”约束，就得到 一个形式上的静定梁 该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基 本静定系 综合考虑变形的几何方程、力和变形关系 可求解多余未知力
（思考:为何最大负弯矩在D1处?）
例6 图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆 的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD 杆所受的拉力。
D
a
A C
L
2
L
B
2
P
解：几何相容条件为 D
wC lCD
a
C
( P FC ) L wC 48 EI
3
FC
A
lCD
C
FC L EA FC
L
2
L
2、超静定结构的类型
第一类
第二类
第三类
3、超静定次数
超静定结构的内外约束力总数或内力数要多于静力 平衡方程，其差值称为超静定次数。
超静定次数 = 未知力个数 – 独立平衡方程数
结构的超静定次数就 于它的多余约束力数
超静定问题的解法： 1、静力平衡（不足） 2、变形几何（补充） 3、物理本构（沟通） 综合考虑变形的几何相容条件、物理关系和 静力学平衡条件。 关键：几何相容条件（变形协调条件）
0 l1 1 l2 2 n-1 ln n ln+1 n+1
0 l1
1 l2
2
n-1 ln
n ln+1
n+1
如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将 连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。 每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方 向相反的一对力偶矩，与其对应的几何相容条件是两侧 截面的相对转角为零。 对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个 补充方程——三弯矩方程。