《弹性力学》期中复习提纲
一、张量分析（不专门出题考，但要求会基本的运算） 1. 张量的基本记法、求和约定、自由指标、亚指标、换标 2. Kronecker ij δ符号的换标作用，3=ii δ
3. 置换符号ijk e 的定义（下标是两两反对称的，指标轮流换位等）、矢量叉积运
算的分量表示、δe -恒等式：ks jt kt js ist ijk e e δδδδ-=
4. 正交单位基矢量的坐标转换关系i j i j e e '='β、坐标转换系数的互逆关系
ij k j k i δββ=''
5. 张量的坐标转换运算：j j i i a a '='β、m n n j m i ij T T ''='ββ（写成矩阵形式时要注意坐
标转换矩阵中sin 的符号问题） 6. 张量的代数运算和商判则
7. 特殊张量及其基本性质（比如加法分解、球偏分解、对称张量和反对称张量
的双点积为零张量）
8. 会求实对称二阶张量的主分量和主方向，知道三个不变量的概念（不用死记） 9. 掌握笛卡尔坐标系中的张量场运算和性质（梯度、散度、旋度、Laplace 算
子、高斯定理）
10. 了解一般正交曲线坐标系中张量分析的基本概念（拉梅系数、对基矢量的导
数、场论），但不要求做具体计算。

二、绪论
1. 什么是弹性固体？
2. 弹性力学中的载荷分类
3. 弹性力学的基本假设：
主要：连续性假设（知道这是统计平均意义上的抽象，要求弹性力学中的点
是宏观充分小、微观充分大的）、弹性假设
辅助性：均匀性、各向同性、小变形、无初应力（无后两项，解的唯一性定律就不成立）
三、应力理论
1. 知道应力的定义、真实（柯西）应力和工程（名义）应力的区别
2. 理解“一点的应力状态”：
对“点”的要求
应力分量正方向的规定（笛卡尔坐标系和圆柱坐标系）
3. 熟练掌握斜截面应力公式()ν=⋅σνσ，能正确写出应力边界条件j i ij p νσ=，
会计算斜面的应力矢量、斜面正应力矢量和斜面剪应力矢量的大小
（()ννσ==σ=n ij i j σσνν
、τ=） 4. 会对应力分量进行坐标转换（注意坐标转换矩阵的表达式） 5. 会计算应力主方向和主应力
6. 了解八面体正应力、剪应力。

会计算应力球量和应力偏量，并知道它们的物
理意义
7. 熟练掌握应力平衡方程（张量分量形式,0ji j i f σ+=、实体形式∇⋅+=0σf 和
笛卡尔坐标系中的分量形式）和剪应力互等定理
四、应变理论
1. 知道总位移包含刚体位移（平动和转动）和变形两部分
2. 知道拉格朗日描述法和欧拉描述法的区别和联系
3. 熟练掌握格林应变张量和阿尔曼西应变张量的表达式：
()1
2
=
∇+∇+∇⋅∇E u u u u 、
12j i m m ij j i i j u u u u E a a a a ⎫⎛∂∂∂∂=++⎪
⎪∂∂∂∂⎝⎭
、
12j i m m ij j i i j u u u u e x x x x ⎛⎫
∂∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
、()12=∇+∇-∇⋅∇e u u u u 4. 了解应变和变形之间的关系（不要求记公式）
5. 熟练掌握小变形状态的柯西应变公式,,1()2ij i j j i u u ε=+、1
()2
=∇+∇εu u 。

能
写出笛卡尔坐标系中的几何方程的分量形式，知道正交曲线坐标系中的几何方程会多出一些和曲线坐标性质相关的量，明确圆柱坐标系中应变分量的正方向规定
6. 明确小变形、小应变和小转动之间的关系
7. 知道工程正应变和剪应变与柯西应变分量之间的关系 8. 类比于应力张量，了解柯西应变张量的性质
9. 熟练掌握位移梯度的加式分解11
()()22
∇=∇+∇+∇-∇=-u u u u u εΩ、转动
张量1()2=∇-∇Ωu u 、12j i ij i j u u x x Ω⎛⎫
∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
及其反偶矢量ij ijk k e Ωω=、
112233ωωω=++e e e ω、d d -⋅=⨯x x Ωω
10. 知道公式()(d )()d =d d +=+⨯+⋅ωεu x x u x u u x +x x 中每一项的物理意义 11. 明确应变协调方程和位移场的单值条件之间的关系，但不要求死记公式 12. 会由应变求位移
五、本构关系
1. 能熟练写出各向同性线弹性材料的广义胡克定律：1ij ij kk ij E E
νν
εσσδ+=
-、()()
21112ij ij ij ij ij E E
G νσεθδελθδννν=
+=+++- 2. 对各向同性线弹性材料，各组弹性常数之间的关系仅需要熟练掌握：
E
G =
+ν2(1)
，另外还要能够证明弹性模量和泊松比的取值范围
3. 掌握球量和偏量之间的本构关系0 2ij
ij K G σθσε''== 4. 知道弹性张量的V oigt 对称性ijkl jikl ijlk klij C C C C ===。

知道从一般各向异性弹
性体到各向同性弹性体的独立的弹性常数的个数
5. 知道应变能
密度
⎰=ij
kl
ij kl ij W εεεσε0
d )()(和应变能
⎰⎰⎰==V kl ij kl V
ij ij
V V W U εεεσε0
d d )(d )(的定义和意义，并能计算具体问题的应变
能。

知道格林公式
ij ij W
σε∂=∂和广义格林公式
ij
kl kl ij εσεσ∂∂=∂∂ 6. 知道应余变能密度⎰=ij
kl
ij kl ij c W σσσεσ0
d )()(和应变余能
⎰⎰⎰==V kl ij kl V
ij c c ij
V V W U εσσεσ0
d d )(d )(的定义和意义，并能计算具体问题的应
变余能。

知道Castigliano 公式ij c
kl ij W σσε∂∂=)(、ij
kl kl ij σεσε∂∂=
∂∂ 7. 知道应变能密度和应余变能密度之间的关系 8. 知道应变能的正定性
六、弹性力学的微分提法和一般原理
1. 明确弹性力学的基本方程和基本未知量有哪些？除了应变协调方程外，都要
求能熟练写出其在笛卡尔坐标系中的分量形式
2. 能正确写出给定问题的边界条件（给定力、给定位移、弹性边界条件、混合
边界条件、对称面和反对称面边界条件、不重不漏原则）和两个固结弹性体交界面上的连续性条件，能判断出非线性的边界条件
3. 熟练掌握位移解法。

不要求死记Navier 方程，但是要求对一个具体的问题，
能推导出用位移表示的平衡方程
4. 熟练掌握应力函数解法。

不要求死记BM 方程，但是要求对一个具体的问题，
掌握推导用应力函数表示的协调方程（不要求记）。

现在仅要求记忆Prandtl 应力函数公式
5.了解横波和纵波的基本概念，不要求具体计算
6.知道叠加原理成立的条件
7.知道解的唯一性原理成立的条件
8.知道圣维南原理的两种表述及其作用
七、柱形杆问题
1.明确柱形杆的定义，知道以端面载荷情况对柱形杆问题的分类
2.掌握轴向拉压和纯弯曲问题的解法，知道它们和材料力学解的区别和联系
3.明确柱形杆自由扭转问题的基本假设
4.明确柱形杆自由扭转问题的位移解法的一般过程。

知道翘曲函数在域内和边
界上需要满足的方程。

不要求死记翘曲函数和剪应力之间的关系，但要求能从几何方程和本构方程推出。

不要求记忆用翘曲函数求扭转刚度的公式，但要知道扭转刚度的性质
5.明确柱形杆自由扭转问题的Prandtl应力函数解法一般过程。

知道剪应力和
Prandtl应力函数之间的关系；知道Prandtl应力函数在域内和边界上需要满足的方程。

6.知道反逆法和半逆法的解题思路，会用半逆法求解简单问题
7.熟悉Prandtl应力函数的性质
8.熟悉开口薄壁杆件扭转刚度的公式
9.会比较开口薄壁杆件和闭口薄壁杆件的抗扭性能（从扭转刚度和最大剪应力
两个方面）
10.会用薄膜比拟方法求解开口和闭口（包括多室）薄壁杆件的自由扭转问题
11.了解复杂情况的扭转问题的解决办法，但不要求具体计算
12.知道柱形杆一般弯曲问题的概念（分解成平面弯曲和自由扭转、弯曲中心的
性质），但考试时不要求做具体计算。