〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别（★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4> Einstein 求和约定（★）5、Kronecker-delta 符号（★）、、, f 0, i j定乂：廿性质:(1) §ij= Eji(2)e f -e)= %(3)戈=久+爲2+爲3=3(6) S ik5kj=S ij6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★）1,北为1,2,3的偶排列定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列0, 门，舛任两个相等性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji(2)弓23 =幺23] =©】2 =1(3)弓32=©2I =勺口=_1⑷e^ej=e ijk e k(5) (axb)k = egbj, a、b为向量7、％与爲的关系（★）魯i詁0 § ZQ8、坐标变换（★）向量情形：旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，£ 新坐标系： 州兀姿戸心乙列 变换系数： e[・e 尸（3 坐标变换关系：X ，i - 0ijXj x t = 0jXj0厂（角）T矩阵形式为：011 012 013011 0】2013X * = 021 022 023兀2或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀021 022 023A.几 2 A.3__^3_.031 032 033.011 012 013 A011 012 013 兀2 — 021022 023%； 或[西，吃，兀3] =[X ，%；，兀；]021 022 023_031 032033 _.031032033.张量情形入芋与A“•是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有気=炕0“九矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★）9、 张量的基本代数运算（1） 张量的相等（2） 张量的加减法 （3） 张量的乘积（4） 张量的缩并 （5） 张量的内积（★）（6） 张量的商法则 10、 几中特殊形式的张量（1） 零张量 （2） 单位张量（3） 转置张量（4） 逆张量（5） 正交张量（6） 二阶对称张量与二阶反对称张量（★）=*（每+心）+*（州一％）对称部分反对称部分若％•为对称二阶张量，则勺辺=0（7） 球张量与偏张量Ay = | Akk Sij +（4/_| A3j ）球张虽 偏怅虽（8） 各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：傀=呱,o 为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：B ijk =/3e ijk . 0为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：C 购=2第爲+“@易+爲务）, 11、二阶对称张量的特征值与特征向量（★）特征值久与特征向量"所满足的方程组：（★）（片一 A ）/2] + T ]2n 2 + 7j 3n 3 = 0（场-鸥）® = 0 O ©q + （乓 _ 小2 + T23n3 = ° »7^]M| 4- 7^2^2 + （可3 —几）斤3 = °计算特征值2的方程：（★）计算特征向量"的方程：（★）（T f - A ）2 -f-T 耳 2十丁 nO （（£•厂久5莎=■ 卩十7（ -2A n ）+T n 巧宅=1J 芯卩 t T 如+2/ -么"=P第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）2、“为常数（★）7]厂几忆•一鸥 | = 0o T 2l1 =T U =T XX +T 22 +T 33 II⑺血-7；再)胡禺2 + T 22T 33 +石/厂莖一泾一兀III = det(7? )=人［石2召3 +久2呂3石I +刁3石禺2 - ”禺3巧2 -久2厶石3 -刁3石2石1利用三个特征向量计算三个不变量的公式：(★)I =厶=入+入+入III = det®)=人人入12、张量分析简介(1) Hamilton 微分算子V (★)笛卡尔坐标系屮，V 的定义为若比为标量函数，则梯度:若“为矢量函数，则散度:若比为矢量函数，则旋度:设U 为标量函数，43为矢量函数，C 为常矢量，则有① V-(wC) = VwC ② N x(wC) = VwxC③ ▽•G4xB) = B ・(VxA) — A(VxB) ④ V-(Vw) = V 2w ⑤ (V-V)A = V 2A@Vx(Vw) = 0⑦ V-(VxA) = 0V 2a 2 a 2⑧ V X(V X A)=V(V-A)-V2A(2)Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系在笛卡尔坐标系屮，Laplace微分算子定义为：△ = 2 +厶+ 2_ox2 ox^ Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系:v 2=v-v =d 2 d d d —e x H H = —7 H r 讥' dx 2 2 dx 3 3a?九2a 2 a 2 7 H -- = A dx^ dx ； dx 3（3）三矢量的混合积及其几何意义（★）对于如下的三个矢量A = A 】弓 + A 2e 2 + A 3e 3B — + ^2^2 + B3EC = C|^| + G 匕 +4・(BxC) = A B\ c, cA 2B2上述混合积的几何意义是: 三矢量的混合积A （BxC ）表示以|A |>\B \. |c|为棱的平行六面体的体积。
（4）散度定理（★）某一矢量散度的体积分等丁 •该矢量穿过该体积封闭表面的总通量。
设空间区域V 具有分片光滑的封闭边界面S, n = n&为S 的外法向单位向量，向 量场u （x.t ）在V 内具有连续的偏导数，则高斯散度定理为£ V • udV = % ° ndS—弹性体运动与变形基本理询1、 内力与外力（★）2、 应力与应变（★）3、 轴向应变与横向应变（★）4、 正应力与剪应力（★）5、 体积膨胀率或体积应变（★）6、 杨氏模量（弹性模量）、泊松比、体积模量与剪切模量（★） a d——e x H - s + 为 Sx ~7、 弹性波、波速及波阵面 8、 纵波、横波、体波与面波9、 弹性动力学基本假设及其数学物理含义（★）18、 过一点的两线元变形前后夹角的变化（假设单位向量为n = n i e i , n = n i e i ）变形前夹角余弦：cos a = qq 变形后夹角余弦：cos a = 2q qj?, + （1 _ w _ €）叫叫=le^n. + （1—w —w ） cos aJJJJ19、 小变形应变张量的几何解释（★） 20、 主应变与应变不变量（★）（1） 主应变与主方向的概念（2） 主应变与应变不变量的计算10、 弹性体运动与变形的一般数学描述 11、 质点的速度与加速度表达式12、 G reen 应变张量(a13、 小变形情形的应变张量（★）eU 1 ( du t 8Uj = ------ +—-2l dx j dxUiJ + U j,i)14、 小变形位移场的分解讷Q，= u i H申 cqjdx)+ e-dx15、 小变形情形的转动张量（★）_ 1 8u i duj2\ dXj dx {\ J 1UiJ ~ U jJ16、 小变形情形的转动向量（★）\宀 1 die©=亍5弼或 ©=空5莎17、 正应变及其计算（★）主应变弓与主方向〃所满足的方程组：（★）0] - e ） q+ e 12n-^ e t（勺厂妙亍°02《卩+ （纟2一 P P+纟3勺"古 e3^e^3）eZK计算主应变弓的方程：（★）ell ~ee if —e% =0 o e 2le3\计算主方向〃的方程：（★）应变张量第I 、II 与Ill 不变量的直接计算公式：（★）I =色=印+幺22+幺3311=亍（◎勺_旬旬）=片向2 +勺2幺33 +幺33勺1 _必_幺;3 _勺；III = det （勺）=弓］丘22*33 +*12*23*31 + 弓 3*2】勺2 —弓 1*23*32 —弓 2*21*33 —弓3*22*31利用三个主应变计算三个不变量的公式：（★）HI = det （勺）=弓幺2幺321、 相容性条件的物理意义（★） 22、 如何由应变场通过积分方法求解位移场 23、 应变球张量与应变偏张量三、应力分析基本理论1、 体力与面力2、 Cauchy 应力原理3、 应力向量应力向量：t （n.x.t ） = -（71, x, t ）e （ 正应力：r n =t -n =-叫ei2ei3*22 _ e*23纟32 勺3 — °=0I 二弓+勺+勺剪应力4、 应力张量© （★）5、 C auchy 应力公式（★）应力向量：t t = T ij n j 止应力：r n =6、 运动微分方程与边界条件（1） 运动微分方程（★）: +pfj= pUi（2） 平衡微分方程（★）: r.（jj +pf.=O（3） 剪应力互等定理（★人r.. = r.. （4） 应力边界条件应力边界值为：t i = r.7、 主应力及应力不变量（★）（1） 主平面、主方向与主应力 （2） 主应力与主方向的计算（★）主应力7■与主方向〃所满足的方程组：（★）（耳厂〃 ]+厂“左「厲3$（T..- T 3^1 亍 Ou>2卬2| +（爲2 一血 2 + 珂 3 *计算主应力&的方程：（★）计算主方向〃的方程：（★）（斤]一厂）2）i-r 力+歹nn 亿厂r 弟亍?。
卩卩古巩厂工刃）+歹方= 1（ fT 冬 2+2$ 一 #3” =应力张量第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）II =㊁訐jj - T ij rij^ ~ r n r22 r22r33 + 厂33巧 1 一「12 — T23 ~ T\3T2 1 T 22T—T S- = 0<=>I 32III= det(r^.)=斤&22 厂33 + r i2r23r3l + 可 3 厂21^32 —可1^23^32 —右2^21「33 — ^13^22^31 利用三个主应力计算三个不变量的公式：(★)I=r..=r,+r2 + r3II=?■苗2+55+III= det(r^) = ^^7-3(3)主应力的性质8、应力球张量与应力偏张量1、数学预备：功与应变能动能密度：k = -pu i u i(★)Green 公式:r.. =2、各向同性线弹性体的广义胡克定律(本构方程)(1)广义胡克定律的一般形式：s=Gjk&j(2)各向同性线弹性体(或理想弹性体)的广义胡克定律(★)应变表示应力：Tg=入眦)+ 2“勺，& =骸，丄厂如——8..应力表示应变:"2“ y2“(32 + 2“)"体积膨胀率与应力的关系：e =—；—r,3/1 + 2“(3)线弹性体的应变能密度(★): W=|r.e..(4)各向同性线弹性体的应变能密度函数(★人W = -W2+/.ie.e..(5)物理常数E、I/、G、R与拉梅常数2、“之间的关系“(32+ 2“ A - EvE = ------ -, v = -------------- , X = -------------------2 +“2(2 + “)(l + v)(l-2v)E 小. 32 + 2/z E//= , C J — JLl K ——2（” 3 3（1 - 2v）（6）各弹性参数的取值范围实际地球岩石的泊松比“ = 0.25 ,通常称为泊松材料。