研究生课程考试答题册
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《数据分析与信号处理》考试题目
一、从网上截取一段声音信号
在MATLAB下分析其谱信号特征，要求给出时域波形、频域功率谱及分析结果；
对该信号叠加高斯或白噪声，并对含噪声的信号分别采用高通、低通、带通和自适应滤波等滤波方法进行处
理，对比分析各种滤波效果。
二、综述基于模型的现代功率谱参数估计方法，并将其中一种方法
在MATLAB下实现。
三、以信号噪声消除应用为例，对比分析付氏分析和小波分析的功
能差别。
《数据分析与信号处理》答卷
一答题如下：
我在网上下载了一份打火机声音的W A V格式音频文件，然后应用MATLAB中的wavread命令来读入（采集）该语音信号，将它赋值给某一向量。
再将该向量看作一个普通的信号，对其进行FFT变换实现频谱分析，再依据实际情况对它进行滤波。
具体结果见下图：
图一原始信号时域频域图
结果分析：由上图可知，打火机的声音为低频信号，其能量主要集中在1500HZ以下。
对该信号叠加一个信噪比为20分贝的高斯白噪声，可用awgn命令来实现，下面对含噪声的信号分别采用高通、低通、带通和自适应滤波等滤波方法进行处理，结果见下图：
图二原始信号和加噪信号对比图
可以看出，由于受到噪声的干扰，信号发生了变化。
图三低通滤波器处理
结果分析：可以看出，在低通滤波后，高频部分全部被滤除了，而低频部分的噪声没有滤除。
图四高通滤波器处理
可以看出，在高通滤波后，低频部分全部被滤除了，而高频部分的噪声没有滤除。
图五带通滤波器处理
可以看出，两边全部被滤除，而带内噪声未被滤除。
二答题如下:
现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。
主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。
主要方法有最大嫡谱分析法(AR 模型法)、Pisarenko 谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony 谱线分解法以及Capon 最大似然法等。
其中AR 模型应用较多, 具有代表性。
常用的模型有ARMA 模型、AR 模型、MA 模型。
ARMA 模型功率谱数学式子表达为:
2
2
21
1
()1/1p
p
j k j k k j k
x k k P e b e a e ωωωσ--===++∑∑
其中2
σ
是激励白噪声的方差, ()j x P e ω为功率谱密度, k a 和 k
b 为
模型参数。
如果ARMA 模型参数1,2,q b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅全为0，就演化为AR 模型：
221()1p
j k j
k
x k P e a e
ωωσ-==+∑
如果ARMA 模型参数1,2,q a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅全为0，就演化为MA 模型：
221
()1p
j k j k
x k P e b e
ωωσ-==+∑
在实际中, AR 模型的参数估计比较简单, 对其有充分的研究, 而
对于ARMA 模型, 其参数比较复杂, 对其算法的研究和改进还在完善中。
下面取信号
xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*41*n)+3*cos(2*pi*90*n)+ 0.1*randn(size(n))
用周期图法求出的功率谱曲线和burg 算法求出的AR 功率谱曲线( p=50)，求得结果如下：
图六周期图法求出的功率谱曲线和burg 算法求出的AR 功率谱曲线对应的代码为：
fs=200;
n=0:1/fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*41*n)+3*cos(2*pi*90*n)+
0.1*randn(size(n));
window=boxcar(length(xn));
nfft=512;
[pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,fs);
subplot(121)
plot(f,10*log10(pxx))
xlabel('frequency(hz)' );
ylabel('power spectral density(Db/Hz)' );
title('periodogram psd estimate' );
order1=50;
range='oneside';
magunits='db';
subplot(122)
pburg(xn,order1,nfft,fs,range)
经典功率谱估计的分辨率反比于有效信号的长度, 但现代谱估计
的分辨率可以不受此限制。
这是因为对于给定的N 点有限长序列x(n), 虽然其估计出的自相关函数也是有限长的, 但是现代谱估计的一些
隐含着数据和自相关函数的外推, 使其可能的长度超过给定的长度, 不象经典谱估计那样受窗函数的影响。
因而现代谱的分别率比较高, 而且现代谱线要平滑得多, 从上图可以清楚看出。
三答题如下：
小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：
1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j
和V-j所构成的空间上去的。
2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。
小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研
究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。
3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω
2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。
事实上，F(w)dw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。
4、在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅立叶变换中w的值越小。
5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。
在小波变换中，变换系数Wf（a,b）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。
6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf与中心频率f
无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf则正比于中心频率f。
下图是一个含噪的矩形波信号，采用傅里叶分析和小波分析进行消噪的效果对比。
图中可以看出，用小波进行信号的消噪可以很好地保存有用信号中的尖峰和突变部分。
而用傅里叶分析进行滤波时，由于信号集中在低频部分，噪声集中在高频部分，所以可用低通滤波器进行滤波，但是，它不能将有用的信号的高频部分和由噪声引起的高频干扰加以有效的区分。
若低通滤波器太宽，则在滤波后，信号中仍存在大量的噪声，若低通滤波器太窄，则将一部分有用信号当作噪声而滤掉了。
因此小波分析对非平稳信号消噪有着傅里叶分析不可比拟的优点。
图七小波分析与傅里叶分析消噪效果对比。