=
bnsn +bn−1sn−1 +......+b1s +b0 sn +an−1sn−1 +......+a1s +a0
( ) ( ) ( ) = bn +
bn−1 − bnan−1 sn−1 + ......+ b1 − bna1 s + sn + an−1sn−1 + ......+ a1s + a0
⎥ ⎥ ⎥
− a2 L− an−1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎢
xn−1
⎥ ⎥
⎣xn ⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎢0⎥⎥ ⎢M⎥u ⎢0⎥ ⎢⎣1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
[ ] y = β0
β1
L
β n−1
⎢ ⎢
x
2
⎥ ⎥
⎢M⎥
+
bn u
⎢⎥
⎣xn ⎦
u
1
bn x’n 1/s xn
βn-1 1/s xn-1
M
βn = b0 − β an−1 n−1 − β an−2 n−2 −La1β1 −a0β0
0 L 0]x + bnu
复习其证明 （p35-38）
18
9
线性系统理论1
3 Jordan标准型实现——并联分解（p39结论2.3）
1) N(s)/D(s)只含单实数极点
⎧x& = Ax + Bu ⎩⎨y = Cx + Du
8
4
线性系统理论1
7) 结构图——积分环节、比例环节、比较环节组成。
⎧x& = Ax + Bu
⎨ ⎩
y
=
Cx
+
Du
D
u
x’
x
y
B
I/s
C
A
复习教材p20：2.2线性系统的状态空间描述 作业2：绘制式(2.17) (2.18)系统的结构图。
9
2-2 由系统输入—输出描述建立状态空间表达式
⎡y1 ⎤T
y(t)
=
⎢ ⎢
y
2
⎥ ⎥
⎢⎢M
⎥ ⎥
⎢⎣ y q ⎥⎦
6
3
线性系统理论1
4) 状态方程——状态变量一阶导数与状态变量和输入变量的关系方程。 对n阶单输入系统，状态方程(state differential equation)一般形式为：
⎡ f1(x,u,t)⎤
x&
=
f
(x,
u,
t
)
=
试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。
解：Y (s) = Ts + 1 U(s) s2 + 2ζωs + ω2
U
1
Z
s2+2ζωs+ ω2
Ts+1
Y
=
s2
+
1 2ζωs +
ω2
× (Ts
+ 1)
设中间变量z： &z& + 2ζω z& + ω 2 z = u
x1 = z x2 = z& = x&1
b1u'+b0u
其中：a0，a1，…an及b0，b1，… b0是由系统特性决定的常系数。 相应的传递函数为：
G(s)
=
Y(s) U(s)
=
bnsn +bn−1sn−1 +......+b1s +b0 sn +an−1sn−1 +......+a1s +a0
10
5
线性系统理论1
G(s)
=
Y(s) U(s)
13
U
1
Z N(s)
Y*
D(S)
Z(s)
Y(s)
U(s)
Z(s)
Y *(s) = (βn−1sn−1 + βn−2sn−2 + ......+ β1s + β0 )Z(s)
y*
=
β z(n−1) n−1
+
βn−2z(n−2) ... +
β1z&
+
β0z
⎡ x1 ⎤
[ = βn−1 xn + βn−1 xn−1 + ... + β1 x1 + β0 x1= β0
时间响应、稳定性、能控性、能观测性。 3 系统综合——系统分析的反命题，即根据已知系统模型和性能要求确定 控制器。
综合的目的：使系统的性能达到希望的指标。 系统综合的基本问题：
1）可综合性问题——建立系统综合所需条件。 2）综合算法——建立用来确定控制器的算法。 3）综合的工程实现问题。 作业1，总结线性系统理论的发展过程，1000字左右。
b0 − bna0
=
bn
+
βn−1sn−1 + βn−2sn−2 + ......+ β1s + sn + an−1sn−1 + ......+ a1s + a0
β0
=
bn
+
N (s) D(s)
其中：βi = bi − bnai 显然当bn=0(分母阶次大于分子阶次）时, βi = bi
Y (s ) =
当状态空间表达式中得A，b具有 上述形式时，称为可控标准型。 （p33结论2.1）
14
7
线性系统理论1
状态变量图
⎡ x&1 ⎤
⎢ ⎢
x&2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎢ ⎣
x& n−1 x&n
⎥ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−
0 0 M 0 a0
1 0 M 0 − a1
0L 0 ⎤
1L 0
⎥ ⎥
MO M 0L 1
1
四、教材及主要参考书 1. 郑大钟，线性系统理论，清华大学出版社 2. 李友善，自动控制原理（第二版），国防工业出版社 （第八、九章） 3. 胡寿松 自动控制原理（第四版） ，科学出版社（第九章） 4. 程鹏，线性系统理论，北京航空航天大学出版社 5. 吕林等译，线性系统理论，机械工业出版社 6. 郑大钟，线性系统理论习题解答，清华大学出版社 7. [美]Katsuhiko Ogata著，卢伯英，于海勋等译，《现代控
线性系统理论1
线性系统理论
一、计划学时与学分：
学时：36学时
学分：2学分
二、适用专业：检测技术与自动化装置；电机与电器
三、预修课程：矩阵论，自动控制原理 四、教学目的
掌握系统建模、系统分析及综合的方法。 1 线性系统状态空间描述、传递矩阵及标准形实现； 2 运动分析、可控性、可观性及稳定性分析； 3 极点配置、解耦补偿器、观测器、动态补偿器等的设计。
βn-2 …x3=x’2 1/s x2
β1 1/s x1 β0 y
-an-1
-an-2
-a1 -a0
注意：1)每个积分器的输出都对应一个状态变量； 2)状态方程由积分器的输入输出关系确定； 3)输出方程由方块图的输出端获得。
15
例2-1 已知系统微分方程：&y& + 2ζ ω y& + ω2 y = Tu& + u
7
6) 状态空间表达式——状态方程与输出方程的组合。一般形式：
x& = f (x,u, t) y(t) = g(x,u, t)
对于线性系统，有：
⎧x& = A(t)x + B(t)u ⎩⎨y = C(t)x + D(t)u
x& = f (x,u) 对于时不变系统，有：
y(t) = g(x,u)
对于线性时不变系统，有：
制工程》(第三版)，电子工业出版社，2000年
2
1
线性系统理论1
第一章 绪论
1.1 线性系统控制理论研究的对象 1 系统（system）
从控制论的角度讲，系统是由相互关联、相互制约的若干“部分”组 成的具有特殊功能的一个“整体”。 系统具有：整体性、抽象性和相对性。
2 动态系统（dynamic system）
系统输入输出描述
微分方程 传递函数
一一对应
这种由输入输出描述确定状态空间表达式的过程称为“实现”。
对于同一传递函数可以有多种实现方式。
设单输入单输出（SISO）n阶系统的微分方程：
y(n)
+
an−1
y(n−1)
+
an−2
y(n−2)
+L+
a1
y'+a0
y
=
bnu(n)
+
b u(n−1) n−1
ห้องสมุดไป่ตู้
+L+
y = [1
T
]
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
状态变量图:
T
u
x’2 1/s x2 x’1 1/s x1
y
-2ζω
-ω2
17
2 由微分方程求状态空间表达式（p35结论2.2）
系统描述：
y(n)
+
an−1
y(n−1)
+
an−2
y(n−2)
+L+
a1
y'+a0
y
=
bnu(m)
+
b u(m−1) n−1