第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T解 ⑴角频率为Ω = IOO rad∕s,周期丁=盲=p÷ξ ⑵角频率为I fi=号■rad∕s,周期= 4 s(3) 角频率为Ω = 2 rad 倉，周期T = ~ = Tr S (4) 角频率为Q =兀rad∕ s,周期T=^ = 2 sΩ(5) 角频率为 Ω — rad∕s*周期 T=-^ = 8 s4 12⑹角频率为C =話rad∕s,周期T = -jy = 60 s4.7用直接计算傅里叶系数的方法， 求图4-15所示周期函数 的傅里叶系数（三角形式或指数形式）(1) e j100t(2) cos[,t - 3)](3) cos(2t) sin(4t) ⑷ cos(2 兀 t) +cos(3πt) +cos(5 兀 t)(5)π π cos( t) sin( t)2 4(6)JEJITEcos( t) cos( t) cos( t)2 35-2 -1 O 12 3 r(IJ)图4-15f>~ 十解 ⑴周期T = 4,1Ω = Y =亍r 则有H ,4⅛ - 1 ≤ r ≤ 4⅛+ 1/⑺=II∣07 4⅛ + 1 < r < 4⅛ + 3由此可得-Tu rt = ~∖ ' τ fit) cost nΩt)dt= -∣^∣ /(f)cos(^ψ^)df J- J —⅛ 乙-.：—2 I（2｝周期丁=2・0 =年=兀，则有由此可得1 + e -jrhr2π( I - √ )所含有的频率分量)dr =2 J -[2『亍=Wl f(t)sm(ττΩt)dt =1 J -T2——SInnπ （才），= om 小山（竽）出ISin(Jrt) 9fm=! 0,2⅛ ≤ r ≤ 2⅛ + 12⅛ + 1 < r < 2⅛ + 2F ri ]ft1 Γl=TJV Cf)^dr =⅛J r ∣/(r)e-7iβ,dr — -7- Sin(^f)e -dr -I ZJV4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中扣 =O* ± 1 * + 2・・图 4-18解 (1)由旳⑺的波形可矩Λ<r) =√√-n =-∕l (f ⊂f)亠 IU Jr = f(t)cos( riΩt )df 则有丿 丁人 ,jj = 0.1,2,-[仇=0"[J =盘？=应丄=*" =QE=仇=仏=*八=0 则∕√r)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠 (2)由f 2(t)的波形可知则有— ■ ??f(t)s}n(tιΩt )d r ⅛ =A rz fl , J Tni JJO则f 2(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*(3)由 f 3(t)的波形可⅛l∕3<f) = f 3(~r)则有Γ⅛ = 0, n/(z)cos( fiΩt >d;(4)% 4召=亍即ΛG)的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波* 由/<(0的波形可知，人⑺为奇谐函数■即fdι) =一 fZ 土 £)b 2 = h A = b 6 =・*・=0则有 U即人")的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"4-11 求u(t)的三角形式傅里叶系数。

利用(3)的结果求下列无穷级数之和利用(1)的结果和U(I)J，求下列无穷级数之和21 1 1 S=I-1 1_丄……3 5 7求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。

则三角形式的傅里叶级数为¢2) u(t)波形图可知— B u(r)sin( )df = '1 W(OSirι( wπ∕)dt = ! -iT * T«1 — costn = 1 2 …& « ='1Sin C?J7；r) dzgIJ = 1 r 2 * …守+ 丫仇0口5疋)=—If=II1 KT÷Σ⅛_ I1 — cos (??z) ∙ f 小、---------------- s ι∏( JIlI t J解 (1) Fh UCt)的波形图可知丁 = 2,0 =H(I)2⅛ ≤ f ≤ 2⅛ - 12⅛ + 1 < ? < 2⅛ + 2则有U Q =丁 ■O 性ΨI 1. u(r)df = J J —yf]df = 1 Q«(?) COS(?^r) it =Yl T cαs( ^^f)Ck J 0'1 M(Z)COs(wπr)dr -1图 4-19s = 1 ! ! 12 • 325272完美WoRD格式"7T1 一f- I)FT>in(yπ)LJ 则有2--⅛÷1(3)则可得无穷级数1 Ω电阻上的平均功率为P =丄T则电压有效值为ftl Idt)的波形图可知u 2(i)dz =丄U 2Ct)dz = -t=√T =丄 V √2drCl1U(I)At =— —I Z 叩1 C∑j.将MF)的傅里叶级数代入上式得-1P 1 — COS(MTr) - # 林八「斗I⅛^⅛一忑一Sm(T r)]CIZ = Iu(t)dtPL-1 nπ工 1-(-1)"Ff= 1KΣ Ff= 1λiπnπ4.17 I卫 Tr「 1^∞s=1-⅜-⅛-⅜-根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换(1) f(t)=(2)f(t)= (3)f(t)二2- X—2，」： ；:：t 厂：很亠t一sin(2叫 I 2X,-：： ：：：S i n [口 - 2)】_:：，t ，：： 二(t-2)'解(1)由于宽度为“偏度为1的门函数趴⑺的频谱函数为& (专)・即取Γ =狙幅度为寺，根据傅里叶变换线性性质有耶-∣-g r i (F) —-g- ×2Sa(ω) —SaCaJ)即+幻 C)~~ Sa<∞)注意到是偶阴数■根据对称性可得SaC/) "__* 2ττ X -y⅛≤ (ω) = Jr呂辛(⅛?) 根据时移性和尺度变换性可知菟沁2E —2)]]=屛亠)宀由/(r)=山_严打2)_ = 2Sa[2π(t-2)^可知π⅛∙ t一L)e~l2v I u* I ≤ 2?r rad∕S0, ItUl > 2Jr rad/s(2)由于e-ttlfl-一-, 社：G iJ—&/ 可知3 q一> 2πe^fl -W= 2πe^al Wα- + Γ即∕∞=≠⅛^∞<f<∞的傅里叶变换为决又有rSa(≤^)≡<T)九tΛ"[ = ⅛4jω)e-jf"=(3)由于根据对称性可知sin(2πf)討S根据频域程积积分性质可得-⅛tn(2πf) -24.18求下列信号的傅里叶变换(1) f(t) dl(t-2)(2) f(t) =e'(t 」\'(t -1)(3) f(t)=sgn(t 2-9) (5) f(t) =2CI)已知由时移性质可得⅛Cz -2) —e^j2再由频移性质可得八“的傅里叶变换5" — 2) A e^i即F⅛> =⑵ /Cr)=严i%— 1) = S f<t- D- (-3}⅛G -1)=y (t- 1) +3⅞<r - 1)又 M —•网，由时移特性可知/Cr)的傅里叶变换为F(jω)=(讪 + 3)e^i *¢3) /(r) = Sgn(^ — 9> = 1 一 2g⅛ Cr)又 迁—耳点(F)El 购「df — I e^'ltt,1dt = 'hin"GJ —™J —3<i)=2πδ(ω)则有I ω ≤ 4τr rad∕ S ω > 4τr rad∕ S-⅞in(2π^)2π∕t-—∞ < Z < ∞的傅里叶变换为ω ≤ 4π rad∕ S ω > 4π rad∕ S即 /Cr)=孔fg= 2%〉_血型OJ⑸由ε C f—* TtS(at) + JCU 利用时移特性可得再rtι尺度变换特性可得芝(£ —1) →~~> 2]ττ⅛(2G —τ^-e^j2ω2 = π⅝(⅛)十Λe^j'α, Z jZω -Jω即∕ω的傅里叶变换为F( jω) = JΓ⅛(ω) ÷ τ^-e^j2wJQJ4.19试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。

图4-23ι∕≡⅛)2 4 4 2解(1)由的波形可得其闭合表达式为∕ι(r) = —[ε(t + r) -ε(i-r)]由此可得f ι (f) = —Cr + L) —ε( 1—r)∏ —[$(『一r)—讯 f — r) _ —τ r又有C (/) ■*—*■ TΓ<3b(OJ)+ -、—M—1可得A^jWrε( f i τ) j*—*Fπ<5Cω) 十——Ja⅛(z ±r) —戶呎则有= - •沁辺一2CM(O z r)r ω当3=0时上式值为X则有K)]=匸八⑺]J32ωcos(ωr) —2sin(ωr)ω TC2)由九(D 的波形可得其闭合表达式为/2(f) = Ar (J+f)eG + f)_(, + f ^ + f)由此可得ε(r-y) -€<z + ^) -ε(i -y>÷^(r-y) (t) j* *FTT(J LC W ) — ■；—一p±JW⅛E (F 土齐-)Y —” π⅞(ω) 一 ----- --/ jω二丄'.E (f 土 ~) —M π⅝(ω) 一 二 --------4 Jω当ω = 0时•上式为Ch 则有4.20若已知F[f(t)] =Fj ),试求下列函数的频谱:(1) tf(2t) (3)t d J )(5)(i-t)f(i-t)(8) e jtf(3-2t)(9)C T I t又有可得则有=_8_ jω τCc )S(^)-Cυs(^)J 4丑九⑺]=兀儿⑺]Jω解 (1)根据频域微分特性可知则有tf(t) 一 j 羊F(jGdω根据尺度变换特性可得纤⑵〉一j*舟F(j 号)则可得乳圧⑵j ££F(j 号)(3) 市时域微分持性可得巴F …Cj ω)F(j ω)又由频域微分特性可得(―Q 警…缶∞F(Q](jω) _ =— -F(joj) +oj-^-F(jα>)ClCUJ - J uω(5)由频域微分特性可得r∕(z) — j⅛(j ω) αω由反转特性可得 一tf ( —t ) "i*— j (― ]ω)文由时移性质可得(-Z÷1)∕(-Z+1) —j 严 f_F(—讪)即5f 2(l —z)∕(l — t)_ = — je --z -^-F (―jω)dω(-jn∕(r)-γ-F (j@)GaJ则有= j¢8)由尺度变换特性可得∕C - 2f ) W —* £尸(一 j -y )Fh 时移特性可得 『(3 — 2t) —* +才节F( — j 号〉又由频移特性可得e j γ(3-2∕) *r⅛k F(jW 1KPMe j 7(3 一 2D] = 咛1F(j(9)甫时域微分特性可得又有则由时域卷积定理可得—■*~~* jωF Cjω) * (— j) sg∏(ω)兀f4.21求下列函数的傅里叶变换解 (I)傅里叶逆变换为fit} = F(jα∣) G lf ^,1dω = T-dtυ=^TT J -H^TrJ β⅛0=-J-(W 吋—EFe√}=坯皿 Qf(3) FQJ= 2 cos(3，)(5)2F(j •)八∙2sine -j(2n I)"n =B豹Fz )r 4 13F (jω)—-—JSg∏Cω)TrZ L(1) (r) *F(jω)0,ω2πjr寸⑶F(j 和)的傅里叶逆变换为f<t) = Z L l 2cos(3ω)^z dω = f 丨(e 3a, + e"j5w )e f df / TT 」一oc Z 7f.. —X=二「[e jw(W) +亡"叮击 ZTrJ-=C⅛ δ(f) -~~> 1,得 5(f)=亠 e jw 'dωτ 则有∆7Γi . —κ/Cr) = Mr + 3) +δ(t 一 3)4.23试用下列方式求图 4-25示信号的频谱函数（1） 利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）＜ （2） 利用时域的积分定理。