3、对称失稳——不稳定的后屈曲性能
理想 p'2
路径：
Pl
2
1
c
2
，写为
P Pcr
1 k2w2
考虑初始挠度w ，得初始缺陷对后屈曲性能的影响关系为： o
P
Pcr
1 k2w2
1
wo w
1
wo w
k2 wo w
k2w2
有极值点, Pmax 低于1.0 ， Pcr
对于 P 的表达式右端对w求导 Pcr
NV
N
l cos 2l
N
cos 2 1 sin
p1 0:
2P 2lCP lC
1.0时，稳定 1.0时，不稳定，施加微小干扰结构溃塌或跳到p2
p2
0:
2P lC
2 cos
1 sin 1 1 sin sin 11s
in
2 cot1
1
1 sin
0时，不稳定 0时，稳定
（２）忽略高阶项不会影响结构最初的后屈曲性能，只要计入第一个非零的 项，就可研究结构的初始后屈曲性能。
（二）结构的初始缺陷敏感性
１、基本概念
对称分枝型失稳——稳定的初始后屈曲性能
理想结构
——不稳定的初始后屈曲性能
不对称分枝型失稳——稳定和不稳定的初始后屈曲性能
实际结构
初始缺陷：初偏心、初挠度、残余应力。
1 3
0.423
f
Pmax
0.385C
f3 l2
无所谓初始缺陷，只能视为缺陷增加敏感性
（四）判断后曲屈性能的实用方法
1.对称分枝型失稳
后曲屈稳定 ： l sin C 0
外弯矩 内弯矩增大
内弯矩 外弯剧增大
后曲屈不稳定 ： pl sin Cl sin l cos 0
从 p2 ' 可见：结构具有不稳定的初始后屈曲性能。
３、不对称分枝型失稳——稳定和不稳定的后屈曲性能
2l 2 l l sin2 l cos2 2l21 sin
2l( 1 sin 1)
记：N c ,
NH
N
l1 sin
2l
N
1 sin ,
2
绕A点弯矩平衡： Plsin NHl cos NV l sin
6
p2 '
p2 和 p2 ' 关于
轴对称： 从 p2 可见：结构具有稳定的后屈曲性能；
从 p2 ' 可见：结构具有稳定的初始后屈曲性能。
２、对称分枝型失稳——不稳定的后屈曲性能
绕A点的平衡条件为：
Pl sin Cl sin l cos 0
P cos sin 0
lC
0, 0,
s
l2
f2
l
1
1 2
f2
l2
l l 2 f w2 s2 l2 f 2
2 fw w2 2l l l 2
l f w w2
l
2l
对中点取矩 ， 平衡
P l l H f w 0
2
P
C
2f l2
2
w 3f l2
w2
w3 l2
H C l
w Pmax f 1
P lC
cos
p1 p2
平衡路径：
p1 0:
P lPC
1.0时稳定 1.0时不稳定，施加微小干扰结构溃塌
lC
p2 0: 不稳定，因为屈曲后必 须降低荷载才能维持平 衡
对cos 采用Talyor级数展开，得：cos 1 2
，
P lC
12
p2 '
p2 和 p2 ' 关于 轴对称： 从 p2 可见：结构具有不稳定的后屈曲性能；
设理想轴压杆初始挠度为 w0，轴力P作用下变形为 ， 总挠度 ， 符w合正 弦曲线。
m
sin x
l
M max
P wo
m
Pwo
P m
EI
'' m
EI
m
2
l2
Pcr
m
m
Pwo Pcr P
wo Pcr 1
P
wm
wo
m
wo
wo Pcr 1
wo 1 P
P
Pcr
＃
wm
wo 1 P
Pcr
＃ P 1 wo
一、稳定理论的基本概念 二、分枝型失稳临界荷载的相关准则 三、后屈曲阶段屈曲模式的相互作用 四、框架的稳定设计 五、拱和网壳的稳定特点和设计 六、平面桁架体系的平面外稳定性 七、钢结构构件的整体稳定设计 八、普通钢结构构件的局部稳定（GB50017） 九、冷弯型钢结构构件的局部稳定（GB50018） 十、基于概率理论的钢结构稳定设计理论
4
，写为
考虑初始缺陷 w ，得 o
P Pcr
1
k3
w
1
wo w
1
wo w
k3wo
k3w
P Pcr
1 k3w
,
求导，得极值点 ：
wo w2
k3
0
,
w=
wo k3
Pmax Pcr
1 2
k3
wo k3wo 1 2 k3
wo
比对称失稳更为敏感
（三）跳跃型失稳（snapping through）
Pcr
w
２、对称失稳——稳定的后屈曲性能
理想 p'2 路径：
Pl 1 2
c
6
，写为
P Pcr
1 k12
考虑初始挠度w ，得初始缺陷对后屈曲性能的影响关系为： o
P
Pcr
1 k1w2
1
wo w
1
wo w
k1wow
k1w2
(1) 无极值点 (2) P----w 单调增加
} 对初始缺陷不敏感型结构
Plsin C 0
0, 0,
Pl C sin
p1 p2
平衡路径：
p1 0:
Pl
C Pl
C
1.0时稳定 1.0时不稳定，施加微小干扰会跳到p2路径
p2 0: 稳定，因为屈曲后可以 继续加载
对
sin
采用Talyor级数展开，得：
sin
1
2 6
，
Pl C
1 2
（极值点条件 P=Pmax）
wo w2
k2wo
2k2w
0
2k2
w3 wo
k2w2
1
0
设 w Pmax
wo , w 3 wo 2k2
Pmax P
1 3
3
k2
4
2
wo 3
2
3
k2
4
2
wo 3
2
缺陷敏感型
4、不对称失稳——稳定和不稳定的后屈曲性能
理想 p'2
路径：
2P 1 3
cl
72mx120m煤棚整体失稳 河南安阳信益电子玻璃有限公司工地架脚手架
河南省体育馆（九级风屋面破坏） 山东兖州一厂房
上海安亭镇某厂房
福清市54m厂房
金属拱型波纹屋面反对称失稳
宁波北仑区小港镇一39.8m跨度厂房
一、稳定理论的基本概念
（一）理想构件失稳和屈曲后性能
１、对称分枝型失稳——稳定的后屈曲性能
Talyor级数展开，
cot
1
3
,
1 1 32 1
1 sin
28
2
p2 '
0:
2P lC
1
3
4
从 p2 可见： 0时 结构具有不稳定的后屈曲性能； 0时 后屈曲性能稳定
从 p2 ' 可见： 0时 结构具有不稳定的初始后屈曲性能； 0时 初始后屈曲性能稳定。
４、小结
（１）对称：Talyor级数展开后， 项消失，可考虑 2项； 不对称，Talyor级数展开后，可仅考虑 项。