a // b, a , b , 已知：
求证：c // a // b 证明： a // b b a
c.
a
c
b β
a // a c
a // c a // b
α
c // a // b
小结
证明线面平行的转化思想： (1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//面 面//面
a , a , b
a // b

b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行,则线线平行。
巩固练习：
以下命题（其中a，b表示直线，表示平面） ①若a∥b，b，则a∥ . ( ) ②若a∥，b∥，则a∥b . ( ) ③若a∥b，b∥，则a∥ . ( ) ④若a∥，b，则a∥b . ( ) 其中正确命题的个数是
如图：已知直线a，b，平面，

且a // b，a//，a，b都在平面外。 a 求证：b//
证明：过a作面交于c
b
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
注意： 线//面
a // a

b//c
a//c
a//b
c
b
b //
线//线
转化是立体几何的一种重要的思想方法。
练习：
如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一 条,那么它们的交线和这两条直线平行。
证明： a //
a与没有公共点
∵ ∩ =b，∴ b在 内。
又 a与b都在平面内 且没有公共点


a
b
a与b没有公共点
a // b
结论：直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的任意平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行。 a
1.应用线面平行的性质定理的关键是： 过已知直线作一个平面。 2.应用定理的要决：“见到线面平行， 先过这条直线作一个平面找交线， 则直线与交线平行。”如果再需要 过已知点，这个平面是确定的。
3.利用该定理可解决直线间的平行问题。
例4：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平 面，求证：另一条也平行于这个平面
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.2.3 直线与平面平行的性质
复习提问
直线与平面有什么样的位置关系？ 1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3.直线与平面平行——没有公共点。

a
a
a


复习：线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行。
，平面 BC 与平面AC 交于 BC ，所以，ＢＣ// BC ．由（１）知，ＥＦ // B C ， 所以ＥＦ//ＢＣ，因此
（２）因为棱ＢＣ平行于平面 AC
ＥＦ//ＢＣ ＥＦ不在平面ＡＣ内
ＢＣ在平面ＡＣ内
EF // 平面ＡＣ
∴ＢＥ，ＣＦ显然都与平面ＡＣ相交．
反思~领悟：
c

b
问题２： 在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时， 可以和直线a平行？ ∵ 直线a与平面 α内任何直线都没有公共点， ∴过直线a 的某一个平面 ，若与平面α 相交，则这一条交线b就平行于直线a．

a

b
已知:直线a , a , b 求证:a // b
（A）0个（B）1个
(
) Ａ
（C）2个（D）3个
定理应用
例３：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′． （1）要经过木料表面A′B′C′D′
内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线和面AC有什么关系？
解：（１）如图，在平面AC 内，过点Ｐ作直线ＥＦ，使 ＥＦ// BC ，并分别交棱AB ，C D 于点Ｅ，Ｆ．连接 ＢＥ，ＣＦ．则ＥＦ，ＢＥ，ＣＦ就是应画的线．
a b a∥ b 注意：
a
a∥

b
1、定理三个条件缺一不可。 2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们： 要证线面平行，得在面内找 一条线，使线线平行。
问题1：命题“若直线a平行于平面α，则直 线a平行于 平面α内的一切直线．”对吗？ a
那么直线a会与平面α 内的哪些直线平行呢?
线//线
由a // , 通过构造过直线 a 的平面 与平面 相交于直线b，只要证得a // b即可。

思考：
B
证明：AB//平面
A
AB//β
∩β= CD AB//平面 AB ∩ = EF 于是，CD//EF。
AB//CD,
D
F

AB//EF


E
C
作业：过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作 一平面交平面CDD1C1于EE1.求证： BB1∥EE1.