数学与统计学院2007年12月一. (20分) 判断下面方程的类型并通过自变量的变换将其化为标准型二. (15) 利用叠加原理, 齐次化原理(Duhamel 原理) 叙述如下弦振动方程Cauchy 问题的求解过程, 并写出解的表达式.三. (20分) 用傅里叶(Fourier) 变换法求解如下一维热传导方程四. (20分) 用分离变量法求解弦振动方程的初边值问题五. (15分) 对受摩擦力作用且具有固定端点的有界弦振动，满足方程其中常数, 证明其能量是减少的，并由此证明方程的初边值问题解的唯一性.六. (10分) 设为平面上的有界区域, 其边界充分光滑, 考虑方程其中, 为Laplace算子. (1) 证明: 如果是方程的解, 那么, 不能在内部取正的最大值, 也不能在内部取负的最小值; (2) 证明: 上述方程的第一边值问题最多只有一个解.数学与统计学院2007年12月一. 1. (7分) 将方程化成标准型.2. (8分) 求解定解问题二. (15分) 求下述问题的形式解三. (20分) 设是定解问题的古典解, 其中为有界区域, 为其边界, 为外法线方向, , 为已知函数, 且, , 为正常数. 求证在上必有.四. 1. (5分) 写出下述热传导方程初边值问题的解的表达式, 其中为光滑函数, .2. (10分) 证明当时, 上述问题的解关于一致地收敛于零.五. (20分) 证明双曲型方程混合问题解的唯一性, 其中, , 为上的连续函数.六. (15分) 设是以原点为中心, 以为半径的圆域, 在中调和, 且在中一阶连续可微. 试证:数学与统计学院2007年12月一. (18分) (1) 判断下述方程的类型并将其化为标准型:;(2) 判断下述方程类型并求其通解, 其中为常数, 且.二. (18分) 求解下述定解问题三. (18分) 求下述Cauchy 问题的解四. (16分) 设为下述定解问题之解试证明: (1) 当适当大时, ”能量”积分为的单调不增函数; (2) 当时, 能量积分.五. (12分) 求解其中, , 表示单位球边界上的外法向导数.六. (16分) (1) 记为中以原点为中心、以为半径的球, 表示的闭包, 设, 且在中调和, 试证明:, .(2) 利用(1) 证明在全空间中有界的调和函数一定是常数.数学与统计学院2007年12月注意: 以下各题中的小题是分别计分的, 如不能完成上面的小题, 也可以直接完成下面小题.一. (20%) 给出定解问题(P)(i) 作未知函数代换, 其中是新的未知函数, 是待定函数, 使得定解问题(P) 化为关于的定解问题(Q), 而且边界条件是齐次的.(ii) 设(P) 的边界条件是齐次的(即), 求(P) 的解.二. (30%) 给出定解问题（P）(1)(2)(i) 判断方程(1) 的类型;(ii) 通过自变量的变换, 化(1) 为标准型;(iii) 求方程(1) 的通解;(iv) 求(P) 的解.三. (20%) 设区域(i) 求的Laplace 方程第一边值问题的Green 函数;(ii) 求解边值问题其中函数连续, 且有界.四. (30%) 考虑初边值问题(P)其中常数, .(i) 证明: 如果, 则, 其中, , ().(ii) 用上述极值原理证明: (P) 最多只有一个解.(iii) 用能量方法证明: (P) 最多只有一个解.数学与统计学院2007年12月注意: 以下各大题中每小题是独立的, 不回答前面的小题也可以回答后面的小题, 每题都占总分的20%.一. 1. 推导弦振动方程的通解.2. 证明方程(, 为常数) 的通解可以表示为其中, 为任意的二次连续可微函数二. 考虑以下初边值问题1. 引入新的未知函数, 将(P) 化为边界条件是齐次的初边值问题.2. 如果, , 求解问题(P). (问题(P) 中,是常数).三. 用能量方法证明以下初边值问题最多只有一个解其中, , , 是区域的边界, 且充分光滑.四. 设是平面上的有界区域, 其边界充分光滑. 考虑方程其中常数, 是Laplace 算子.1. 证明: 如果是方程的解, 那么, 不能在内部取正的最大值, 也不能在内部取负的最小值.2. 证明: 上述方程的第一边值问题最多只有一个解.3. 如果, 上述两个命题是否成立? 为什么?五. 考虑以下初边值问题:且.1. 写出区域求解Laplace 方程第一边值问题的Green 函数.2. 推导(P) 的解(不必证明).数学与统计学院2008年12月一. (9分) 试写出数学物理方程中常遇到的三类方程.二. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解三. (20分) 设, 分别是下述两个定解问题的解那么是定解问题的解.四. (15分) 导出(写出过程)如下热传导方程柯西问题解的表达式:五. (16分) 验证函数满足二维Poisson 方程.六. (20分) 非线性因子与耗散因子相互作用的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为粘性系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, , . 请给出解的解析表达式. (注: , .)数学与统计学院2008年12月一. 设为分片光滑的有界区域, 是其边界. , 为上的二次可微的光滑函数. 则有如下格林公式成立其中为体积元素, 是的外法线方向, 是上的面积元素. 利用上述格林式说明1) (20分) 设函数为以曲面为边界的区域内是调和的, 在上有连续的一阶偏导数, 则2) (10分) Laplace 方程的第二边值问题即Neumann 内问题有解的必要条件为.二. (20分) 今有一弦, 其两端固定在坐标轴上和处, 在开始的一瞬间, 它的形状是一条以过点的铅垂线为对称轴的抛物线,其顶点的纵坐标为. 假定没有初速度. 试用付氏法求解弦振动方程. 提示: 先求抛物线的表达式.三. (20分) 用分离变量法求解狄利克雷(Dirichlet) 问题其中, 为已知正常数, 且.四. (20分) 有一两端无界的轴, 其初始温度为试说明轴上温度分布为这里为扩散系数.五. (10分) 说明拉普拉斯算子在球坐标下, 可以写成数学与统计学院2008年12月一. 设为分片光滑的有界区域, 是其边界. , 为上的二次可微的光滑函数. 则有如下格林公式成立其中为体积元素, 是的外法线方向, 是上的面积元素. 利用上述格林式说明1) (20分) 设函数为以曲面为边界的区域内是调和的, 在上有连续的一阶偏导数, 则2) (20分) Laplace 方程的第二边值问题即Neumann 内问题有解的必要条件为.二. (15分) 求下述问题的形式解二. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解三. (20分) 非线性与色散相互作用的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为色散系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, . 请给出解的解析表达式. (注: , .)四. (20分) 验证函数满足二维Poisson 方程.数学与统计学院2008年12月一. (20分) 说明拉普拉斯算子在球坐标下, 可以写成二. (20分) 用分离变量法求解狄利克雷(Dirichlet) 问题其中, 为已知正常数, 且.三. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解四. (20分) 设, 分别是下述两个定解问题的解那么是定解问题的解.五. (20分) 非线性与色散相互作用的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为色散系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, . 请给出解的解析表达式. (注: , .)数学与统计学院2008年12月总分100 分, 每题20 分, 共五题. 考试时间180 分钟.一. 用分离变量法求下列定解问题的解:二. 用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板上的稳定温度分布三. 如果有一长度为的均匀细棒, 其周围以及两端, 处均为绝热, 初始温度分布为, 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当等于常数时, 恒有.提示: 考虑如下初边值问题四. 举例说明在二维调和方程的狄利克莱问题中, 如对解不加在无穷远处为有界的限制, 那么定解问题的解就不是唯一的.提示: 设为单位圆外 (其中) 区域, 此问题对应狄利克莱外问题的定解问题五. 对齐次方程的初值问题的解可表达为证明:a) 如果初始条件在轴的区间上发生变化, 那么对应的解在区间的影响区域以外不发生变化;b) 在轴区间上所给的初始条件唯一地确定区间的决定区域中解的数值.数学与统计学院2008年12月一. (20分) 用分离变量法求下列定解问题的解:二. 设为分片光滑的有界区域, 是其边界. , 为上的二次可微的光滑函数. 则有如下格林公式成立其中为体积元素, 是的外法线方向, 是上的面积元素. 利用上述格林式说明1) (20分) 设函数为以曲面为边界的区域内是调和的, 在上有连续的一阶偏导数, 则2) (20分) Laplace 方程的第二边值问题即Neumann 内问题有解的必要条件为.三. (20分) 用分离变量法求解如下弦振动方程初边值问题的解四. (20分) 描述耗散的基本数学物理模型可用如下方程表达这里为耗散系数. 设方程有型如, 的行波解(为波速), 并且满足, . 请给出解的解析表达式. (注: , .)。