§2.4
• 弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
• 弹性介质在外力或扰动的作用下会发生 体积和形状的变化(称为形变)，产生所 谓应变。
• 应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或 剪切)应变。
• 这些 应变用弹性常数来表示。
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• 当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性 介质时，在弹性介质内有胀 缩应变的纵 向位移形式向前传播的纵波存在，同时 也有以剪切横向位移形式向前传播的横 波 存在。
• 描述弹性体内某一点M的应力，在直角坐 标系中常取一小平行六面体，六面体的 每个面都垂直坐标轴(图2.4-１）。
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• 考虑这些面上的应力，可得九个应力分
量，即法向应力σｘｘ，σｙｙ，σｚｚ；
• 剪切应力σｘｙ
σｙｚ，σｚｘ，
σｚｙ，σｙｚ，σｘｚ σij下标的第一个脚码i表示应力的作用 方向，第二个脚码j表示应力作用在垂直
j轴
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弹性体处于静平衡时这些应力互相抵消。 我们已知由于σij＝ σji，九个应力分 量只有六个是独立的。
(二)应变 当弹性体受到应力作用，产生体积和形 状的变化，这种变化称为应变。
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弹性体在外力作用下 可产生上述两种应 变的综合，正如前述，这两种基本类型 的应变正好对应着地震勘查中的纵波和 横波。 在连续弹性介质中，在力的作用下发生 形状变化时，我们说介质受到了形变。 于是，在物质 内部，在一直角坐标系中，
• 研究波动应该考虑应力不平衡的状态。 仍以小六面体为例，若让作用在每个面 上的力由作用在这个面中心的应力乘上 它的面积来表示。
w w x w y w z x y z
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• 在弹性波中主要讨论小形变，因此高次 项可忽略不计。对上式稍加变化，可得：
u u x x 1 2 பைடு நூலகம்x v u y y 1 2 u z w x z
1 2 x v u yy1 2 u z w xz
v1 2 x v u y x y v y1 2 v z w y z
v z x x z e y x x e y y y e y z z
w x y y x e z x x e z y y e z z z
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• 由此可见，这些表达式的第一项为P点的 位移分量，第一个括号中的各项相当于 一个体积元的纯转动，第二个括号中的 各项与此体积元的应变有联系。
• • (一)
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• 当弹性体在外力作用下发生形变时，总 有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体 原状的内力， 这种内力称为内应力，简 称应力。
• 应力可定义为单位面积上的内力。
• 注意，应力的量纲不是力的量纲而是单 位面积上力的量纲，因此有的书将应力
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• 根据力的分解定理，可将弹性体内任意 方向的应力分解为垂直于单位面积的法 向应力和相切于单位面积的剪切应力。
• 应变分量eｘｘ
ｙｙ，ｅｚｚ
• 行于x,y,z轴的简单伸长，称为线应变。
• 其余三个分量eｘｙ，ｅｙｚ，ｅｚｘ为形变 • 的切变分量。
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• 体积元受力后的体积相对变化，可以用体变系数 θ来描述，按体积相对变化的定义可得 ：
u x y v w zex x eyyezz
• 据数学场论可知，上述体变系数的表达式恰好是 位移向量 U 的散度，所以( 2.4-5)亦可写成:
• 但在各向同性的理想弹性体中，由于各 向同性所具有的对称性，弹性常数减少 为两个，应力与应变的关系可写成下列 虎克定律形式：
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xx 2 ex,x xy exy yy 2ey,yyz eyz
zz 2e z,zzx e zx
• 式中弹性系数λ和μ就是著名的拉梅常 数。
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P(x,y,z)的位置移动到邻近位 置Q(x+Δx,y+Δy,z+Δz) 点，产生一个位 移矢量 U (图2.4-2)，其沿三个坐标轴 的分量分别用u, v,w来表示。
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P点附近的位移分量可由泰勒展开式给出。
u u x u y u z x y z
v v x v y v z x y z
• 纵波传播速度比横波传播速度快，在地
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• 地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性 波。
• 在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
• 因此弹性力学的许多理论和概念可以引入 地震勘查中来。
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• 在这里我们重复了一些弹性力学的概念， 是为了将它们引伸到地震勘查范围中来， 着眼点是从地震勘查的角度描述这些基 本概念。
ei ji j,i, jx,y,z,ij
• 当μ值较大时，eｉｊ就变小，这说明μ 的物理意义是阻止剪切应变(eｉｊ)的， 因此常称为剪切模量
•
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• 除λ和μ外还常用一些其它弹性常数来 描述应力应变的关系，最常用的有相氏 模量E，泊 松比，体积压缩模量K。
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• 波动是弹性体内相邻质点间应力的变化， 从而引起质点间应变的传递。
uvwdivU
x y z
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• 这就告诉我们一个向量场的散度在弹性 波传播理论中的物理意义——体现为弹 性介质体积的相对变化(膨胀或压缩)。
• • 对大多数固体而言，在弹性极限范围以
内，测得的应变与外作用力成比例。 •
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• 若固体中六个应力分量中的每一个都是 六个应变分量的线性函数，在一般情况 下，应力与应变关系中将出现6×6=36个 弹性系数。
1 2 w y v zz1 2 x v u yx
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w 1 2 u z w x x1 2 v z w y y w z z
1 2 u z w xx1 2 w y v zy
• •
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x 1 2 w y v z , y 1 2 u z w x , z 1 2 x v u z
exx u x,exyeyx1 2 u y x v, eyy y v,eyzezy1 2 v z w y, ezz w z,ezxex z1 2 w x u z ,
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• 由这些表达式可以把位移分量(2.4-2)式 表成下列形式：
u y z x y e x x x e x y y e x z z