M
例. 一根质量为 M ，长为l 的均匀细棒，可绕通过棒中心
v v的为设角0F垂碰速mm 直撞度的v轴是小 弹Z球yF性，以' 的在速 ，度M xzy试平求v面l0碰对逆内 撞F 小x着 转后d 球轴动解棒小受： 的。法球力m 动方开一的t 分v 量 向始弹析 定碰时研回：m 理撞静究速v 小 :棒止0 对度球动的，象画端今：F和点有小棒棒，质球的假量，F'
各质元的 相同 a不同 动画
m1 mi
（2）匀加速定轴转动的公式: 00t12t2 0t 2 0 2 2 ( 0)
第三节
引言
或
F = ma
力矩
合力矩
内力矩
转动定律
续上
第四节
力矩的功
例
转动动能
J E k E k i 1 2 2 m iR i2
刚体的转动动能为
Ek
1 J2 2
dr
Rr
为积分元
o
dV4r2dr
m 4 R3
3
dJ2dmr22m4rdr
3
R3
J
R
dJ
2m4rdr2mR 2
0
R3
5
dm dV
薄球壳
J 2mR2 3
移轴定理
计算须知
例
铁 10 木
木
铁
木
铁
木
铁 10
铁
木
木 铁
10 铁
铁
木 铁
10 0
小实验
长 杆
短 铅 笔
例
1 2
1 3
1 2
1 3
转动动能定理
集合为积分元
d s 2 r d l 2 R si R n d
m 4R 2
dmds1msind
2
d J r2 d m R sin 2 d m 1 m 2 sR 3 id n 2
J dJ1m2 R si3 n d2m2 R
02
3
例. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
J 1 Ml2 代入，舍弃 12
v v0的解
vM M33m mv0
方向：沿 y 正向
12m (M3m)l
v0
方向：沿 z 正向
解法二: 应用角动量守恒和机械能守恒定律
研究系统：小球、细棒 （内力矩很大，小球重力忽略）
合外力 0 矩 碰撞前后，角动量守恒：
J J ， J 恒 ?? 量 ? 22 11
碰撞前的质点角动量，碰撞后质点角动量+刚体角动
量守恒! 质点角动量:
L r P r Fm ' v
v0
m
v
Ml x
F
y
z
r m v 0r m v J
Z的正方向 Z的负方向
Z的正方向
a d v d r d r
dtdt
dt
z 以逆时针转动为例 R r
r v
x0
y
rarsinaR n
vvsi9 n0 02R
a
dv dt
R
an
v2 R
2R
3. 刚体的定轴转动
（1）特征: 转轴上各点静止，其它各质元
都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
各质元的 相同 v 不同
心的运动就象物体的全部质量都集中于此，而且所有的外 力都作用于其上的一个质点的运动一样。
例： 将一哑铃抛出时，哑铃上每个质点的轨道都不是
抛物线，但质心然作抛物线运动。 动画
动画
炮弹在飞行轨道上爆炸成碎片，质心仍在抛物线上……
平动
定轴转动
第二节
线量与角量的关系
v r
v r s i n R
r = ut 处，转台的角速度为 . 无外力矩作功
R
r
人与转台系统对轴角动量守恒:
J J ， J 恒量
00
M 2R 2 0(M 2R 2m2t2 u )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0 2mu2t
MR2
2
1
0 2mu2t
MR2
2
J ( t ) ( t ) ( t )
积分加初始条件
ddt
0 d0 td t 0 t12 m M 0 22u tR 2dt u(R 2m 0)12arctaunt([2M Rm)12]
m：质点惯性的量度
Ek
1m2v 2
J~m
M J小 M J大
J：刚体转动惯性的量度 （刚体对给定转轴的转动惯量）
如果刚体连续分布 JR2dm kg . m2,标量。
讨论
J 的大小与刚体总质量、质量分布、转轴位置有关. 10 在总质量一定的情况下， 质量分布离轴越远J 越大. 20 同一刚体，转轴位置不同，转动惯量不一样。
标量: F m d m t0 v ( v 1 ) 对棒：角动量定理 dtJ (F'
l )dtJ 2
2 lFdtJ(2)
2 l(mvm0)vJ (3)
2 l球(m 、棒v 、m 地0系)v 统J机 械能(3)守恒：v0
m
v
F'
M
l
x
12m02v12m2v12J2(4)F
y
z
（3）（4）联立将
几种常见刚体的转动惯量：
L
细棒
L
细棒
m
m J 1 mL2
12
薄圆环 R
m
或薄圆筒
J 1 mL2 3 JmR2
圆盘或 圆柱体
R m
薄球壳
R
J 2mR2 球体
3 m
Rm
J 1mR2 2
J 2mR2 5
例. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl r
R d o
解：取离轴线距离相等的点的
功能关系
例
书例10
第五节
刚体角动量
角动量定理
关键式
对 照 质 点
例
角动量受恒
演示转台
花样滑冰
共轴系统
直升飞机
在本实验中，对机身、螺旋桨和尾桨构成的转动系统来 说，没有对转轴的合外力矩，由定轴转动角动量守恒定 律，直升飞机系统对竖直轴的角动量应保持不变。当通 电使机身上面的螺旋浆旋转时，螺旋浆便对竖直轴产生 了角动量，机身必须向反方向转动，使其对竖直轴的角 动量与螺旋浆产生的角动量等值反向，以保持系统的总 角动量不变。开动尾翼时，尾翼推动大气产生补偿力矩， 由角动量原理，该力矩能够克服机身的反转，使机身保 持不动。
J ( t ) ( t ) ( t )
例. 如图，质量为 M 半径为 R 的转台初始角速度为 0 ,有 一质量为m 的人站在转台的中心,若他相对于转台以恒定
的速度 u 沿半径向边缘走去,求人走了t 时间后,转台转过
的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）
u
解：设 t 时刻人走到距转台中心
第五章
本章内容
第一节
刚体
一般刚体运动很复杂，但可以看成是平动和转动的合成。
质心：刚体的质量分布中心。通常以质心（c）的运动来
代表整个刚体的平动。
c
质心运动定理
可以证明，质心的运动遵循以下规律： Mg
动画
F i m a c F i m d d v ct注物意理各意量义
不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质