§4 数据的数字特征【自主探讨学习】 【自主归纳】1、平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商，数据, ,……，的平均数=nx x x n+++ 212、中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数成为这组数据的中位数。

若个数为偶数，中位数为位于中间的数的平均数，若个数为奇数，位于中间的数为中位数。

3、（1）众数：一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数。

（2）众数特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。

反应该数据的集中趋势 4、极差 一组数据的最大值与最小值的差成为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。

5、标准差：样本数据到平均数的一种平均距离。

S=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+-6、方差，即标准差的平方 =【问题研讨】疑点一：中位数，众数和平均数的作用及区别①中位数，众数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 ②平均是的大小与一组数据里的每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动。

③众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据又关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往能反映问题。

④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中集中趋势。

【问题研讨】：1、已知一组数据为10，20，80，40，30，90，50，40，50，40.这组数据的众数是40，中位数是40 平均数是_____。

2、某鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学初二某班的20名男生所穿鞋号的统计如右表：那么这20名男生鞋号数据的平均数是24.55，中位数是24.5，众数是25，在平均数、中位疑点二 方差和标准差都是用来描述一组数据被动情况的特征数，方差和标准差的大小与数据被动有何关系？数据的方差（标准差）越大，数据的波动越大，稳定性越差，反之方差（标准差）越小，波动越小，稳定性越好。

【特别提示】：（1）标准差与原始数据的单位相同，而方差的单位是原始数据单位的平方。

（2）虽然它们都反映了样本数据的离散程度，在实际问题中常用标准差。

【典例互动探究】题型一 众数，中位数和平均数的应用例1、某工厂人员及工资构成如下表（2）该问题中，平均数能客观的反应该工厂人员的工资水平吗？为什么？【名师解析】：由题可知 （1）样本容量为20 ，（2）各类人员人数及周工资可先依次求出众数中位数平均数再分析相关数据。

【请你解答】： （1）众数为100元 中位数为400元，平均数为615元（2）=615元/周 但由表格所列数据可见，只有经理工资在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实的反应该工厂人员的工资水平。

【方法提炼】（1）众数，中位数，平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数最重要。

（2）众数考查各个数据出现的频率，大小是与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题。

（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势。

【互动探究】去掉经理的工资后，平均数为多少？此平均数能客观的反应该工厂人员的工资水平吗？以统计的观点来看你对此结果有什么看法？解析：=(5000×+440×+400×10+200×1)≈416元可以客观的反应该工厂人员的工资水平，从计算可以看出极端值对样本的平均数影响很大，因此在选择样本值时，应避免出现极端值。

【特别提示】（1） 加权平均数： =(+)=n f f f ,2,1分别是数据n x x x ,,,21 是出现的次数。

（2）平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量。

它是反映数据集中趋势最常用的量，中位数可靠性差，当一组数据中个别数据变动较大时，常用中位数表示数据的集中趋势，而众数求法较简便，也经常被用到，所以，考察一组数据的特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑。

题型二方差、标准差的计算与应用例2、甲乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数分别为甲8 6 7 8 6 5 9 10 4 7乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 （1）、分别计算以上两组数据的平均数（2）、分别求出两组数据的方差（3）、根据计算结果，估计一下两人的射击情况【名师导析】求方差的步骤：⑴求，，⑵利用公式求，，⑶比较，，，，⑷做出分析。

【请你解答】（1）x甲=1074109568768+++++++++=7环x乙=105978768776+++++++++=7环(2)由方差公式==1.2列表：甲8 6 7 8 6 5 9 10 4 71 -1 0 1 -1 -2 23 -3 01 1 0 1 1 4 4 9 9 0列表：乙6 7 7 8 6 7 8 7 9 51 -1 0 0 1 -1 0 12 -2（3）x 甲=x 乙，说明甲乙两展示的平均水平相当说明甲战士射击情况波动大，乙战士设计情况比甲战士射击情况稳定。

【方法提炼】⑴平均数与方差重要的数字特征数，是总体的一种简要的描述，应该掌握其计算公式。

⑵ 计算平均数与方差时应用到还有以下几个性质，（都可以证明） ①若,,……的平均数是,则 a +b,a+b,…a+b 的平均数是a +b.②数据,,…n x 与1x +a,+a 的方差相等。

③若,,…的方差为,则a +b,a +b,…a+b 方差.【互动探究】把方差公式=[(-+(-…+(-作以下变形：=[2+]=[++…+-(+…+)+n(]=[(++…+)-2.n +n(]=(++…+-n() 公式（2）有时候用这个公式计算方差很方便，比如，求。

{64+36+49+64+36+25+81+100+16+49-}=3.0)还能不能进一步简化？由性质可知以下解法也是对的。

{1+1+0+1+1+4+4+9+9+0}=3.0)【方法提炼】当数据取数较大时，可以减去某个数（如平均数中位数），用公式（2）可求方差。

题型三 数字特征的综合应用对实际问题的分析评价，不仅要根据样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯。

例三、某校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：⑴请你对下列的一段话给予简要分析：高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的又最多，我得了85分，在班里可算是上游了。

” ⑵根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析并提出建议。

【名师导析】依据，平均数，众数，中位数及标准差的意义分析。

【请你解答】⑴ 由中位数可知，85分在中位数附近，位次上不算上游，但全班平均分为79分，高于平均分，众数为70分，说明这一阶段学习内容掌握得较好，可以说位于上游。

⑵ 高一（1）班的成绩的中位数为87分，说明高于87分的人占一半以上，而平均分则为79分，标准差较大，低分较多。

两极分化严重，建议加强学习困难者的帮助。

高一（2）班成绩的中位数和平均分都是79分，标准差小，学生之间差别小，学习很差的学生少，学习优异也不多。

建议提高学生成绩优秀率。

【课堂跟踪练习】1、2008年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图统计图如下图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A 、84 4.84 B 、84 1.6 C 、85 1.6 D 、85 42、已知一组数据为-3，5，7，X ，11 ，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是（ ） A 、7 B 、5 C 、6 D 、11解答：1、得分是79，84，84，86，84，87，93，最高分是93.最低分是79，则去掉一个最高分和一个最低分后该选手的得分是84，86，84，84，87，计算得平均数是85，方差是1.6答案是C 。

2、这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，X=5，那么，这组数据按从小到大排列为-3，5，5，7，11，则中位数为5，选B 。

3、若40个数据的平方和是56，平均数为则这组数据的方差是0.9 ，标准差是10103解析：设40个数据为.(i=1,2,……40)平均数为则= [=)=0.9S==101034、甲乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中个抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）（1） 分别计算两个样本的平均数与方差。

（2） 从计算结果看，哪台包装机包装的十袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？ 解：（1）=（1+0+8+6+10+9+0-7-6-6）+200=201.5克S甲2=S乙2=[1+0+64+36+100+81+0+49+36+36-10]=38.05(2) ∵＜∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克。

∵SS∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定，【放飞思维】已知数据,,……分别出现次数为且+……+=n 。

问如何求平均数及方差？解答：=(+)=【课后限时检测】1、下列刻画一组数据离散程度的是（）A、平均数B、方差C、中位数D、众数2、已知一个样本中含有5个数据3，5，7，4，6 则样本方差为（）A 、1B 、2 C、3 D、4解：=5 =【+++】=23、下列说法⑴一组数据不可能有两个众数⑵一组数据的方差必须是正数⑶将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变⑷在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组频率.其中错误的个数是（）A、0B、1C、2D、3解析：一组数据可能有两个或多个众数，所以1错误，一组数据的方差可以是0，此时各个数据都相等，所以2错误，3，4正确，答案为C。

4、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12设其平均数为a，中位数为b，众数为c。

则（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞a＞bD、c＞b＞a解析：由小到大排列，10，12，14，14，15，15，16，17，17，17则a=14.7 b=15 c=17则c＞b＞a 答案为D。

5、现有某一型号的汽车50辆，为了了解这种汽车每耗油1升所行路程情况，要从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1升所行路程的实验，得到如下数据（单位KM）11，15，9，12，13则样本方差是（）A 、20 B、12 C、4 D、2解析：计算得平均数=【+】=4答案为C。

则该班学生右眼视力的众数为1.2 0.8解析：中间位置的数据0.8 为中位数，出现次数最多的数据1.2是众数。