G(s)H(s) 1
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
——除-zl 之外的其余开环零点指向零点-zl 矢量 的相角之和。
[例]如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角。 p1 1 j1， p2 1 j1， p3 0， p4 3， z 2
1
根轨迹与系统性能
稳定性 考察根轨迹是否进入右 半 s 平面。
稳态性能 开环传递函数在坐标 原点的极点个数，就是系统的型 号。根轨迹上的K值就是开环增 益。（通常根轨迹增益与开环增 益不同，但有一定的对应关系）
动态性能 由K值所对应的闭环 极点分布来估计。
j n
K 5
K 1
1
K 0 K 0.5 2 1 0
60
五、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开， 称该点为分离点或会合点。
Kg
B
Kg Kg 0 Kg 0
z p2 A p1
如图所示某系统的根 轨迹，A点称为根轨 迹在实轴上的分离点， B点称为根轨迹在实 轴上的会合点。
[分离点和会合点的求法]：
可由 dK g 0 确定分离点或会合点。
∴ 相角条件：
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1) ,
i 1
j 1
k 0,1, 2
幅值条件：
m
m
(s zi )
| (s zi ) |
Kg
i 1 n
Kg
i 1 n
1
(s pj )
| (s pj ) |
j 1
j 1
m
n
相角条件： (s zi ) (s p j ) (2k 1) ,
m
(s zi )
lim
s
i 1 n
lim
s
nm
1
0
(s pj )
(s pj )
j1
j 1
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零 点加无穷远零点的个数等于极点数。
n阶特征方程有n个根。当Kg从0到无穷大变 化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨 迹。即根轨迹的支数等于系统阶次。
三、实轴上的根轨迹：
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
j n
K 5
K 1
1
K 0 K 0.5 2 1 0
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4-3 广义根轨迹 4-4 滞后系统的根轨迹 4-5 利用根轨迹法分析系统的性能 4-6 用MATLAB绘制系统的根轨迹
控制系统的稳定性由闭环极点（特征 根）决定，系统暂态响应的基本特性也与 闭环极点在s平面的分布有密切的关系。
高阶系统特征根的求取比较困难，从 而限制了时域分析法在二阶以上系统中的 广泛应用。
试确定实轴上根轨迹的会合点和分离点的位置。
[解]： 5
实轴上根轨迹区间是：(,5]和[1,0]
1 0
闭环特征方程为：
1
Gk (s)
1
s(s
Kg 1)(s
5)
0
K g s(s 1)(s 5) (s3 6s2 5s)
dK g (3s2 12s 5) 0 ds
s1,2 2
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环 实数零点数和极点数的总和为奇数。
[证明]：例如在实轴上有两个开环极 点p1、p2，复平面上有一对共轭极点 p3、 p4和一对共轭零点z1、 z2 。
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴 上任意试探点构成的两个向量的相角 之和为0°；
z1
1
根轨迹可以很直观地表示出当参数K变 化时闭环特征根的变化，反映出参数K对系 统性能的影响；
也可以很方便地确定满足系统性能要 求的K值。
一、根轨迹绘制条件
系统的结构图如下：
R(s)
C(s)
G(s)
-
H(s)
闭环传递函数为：
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程式为： 1 G(s)H(s) 0
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根 必为实根或共轭复根。因此根轨迹必然对称于实 轴。
二、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
根轨迹方程为：
m
(s zi )
i 1
1
n
(s pj )
Kg
j 1
K g 0 时为起点，K g 时为终点。
当 K g 0 时，只有 s p j ( j 1 ~ n) 时，上 式才能成立，所以根轨迹起始于开环极点。
R(s)
系统开环传递函数为：
-
Gk (s)
K s(0.5s
1)
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数： (s) 2K
s2 2s 2K
特征方程为： s2 2s 2K 0
特征根为： s1,2 1 1 2K
特征根为： s1,2 1 1 2K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
[解]： tg 1, 45; 2 90; 3 135; tg4 0.5, 4 26.6
p1
p1 1
p4
4
z
1
3
p3
p1 (2k 1) 45 90 135 26.6 (2k 1) 180 26.6
2
p2
2k 26.6 1c 26.6(考虑到周期性 )
根据对称性，可知 p2 点的出射角为： p2 26.6
七、根轨迹和虚轴的交点： 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状
态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。这时 的增益 K gc称为临界根轨迹增益。
交点和 K gc 的求法：
由劳斯稳定判据求解。
在闭环特征方程中令 s j ，然后使特征
方程的实、虚部为零即可求出 和 K gc。
凡是满足该方程的s值，就是系统的特征根， 或者说是根轨迹上的点。
所以该方程也称为根轨迹方程。
1 G(s)H(s) 0
把上式改写为： G(s)H (s) 1 G(s)H(s) 为开环传递函数。
因为s是复数，所以G(s)H(s)也是复数，需 满足幅值和幅角（相角）两方面的条件，即： 1.幅值条件：
i 1
j 1
k 0,1, 2
可见，幅值条件与Kg有关，相角条件与Kg无关。
因此，把满足相角条件的s值代入到幅值条件中， 一定能求得一个与之相对应的Kg值。即凡是满足相角 条件的点必然也同时满足幅值条件；反之，满足幅值
条件的点未必都满足相角条件。
根轨迹就是s平面上满足相角条件的点 的集合。
通常根据相角条件绘制根轨迹；用幅 值条件确定根轨迹上某些点对应的Kg值。
m
m
(s zi )
| (s zi ) |
Kg
i 1 n
Kg
i 1 n
1
(s pj)
|(s pj)|
j 1
j1
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) K g
i 1 n
(s pj )
j 1
式中：k g称为根轨迹增益； zi ， p j为开环零极点。
[例]开环传递函数为：Gk (s)
Kg
，试求根轨迹与
s(s 1)( s 5)
虚轴的交点和 K gc 。
方法一：用劳斯判据
闭环系统的特征方程为： s3 6s2 5s K g 0
劳斯表： s 3 1
5
s2 6
n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹 的起点。
当 K g 时，① s zi (i 1 ~ m) ，上式成立。
zi 是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系 统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。