第六课时一元二次方程难点专项专训一：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值名师点金：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等．利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m－3)x2＋m＋2x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A．m≠3 B．m≥3C．m≥－2 D．m≥－2且m≠32．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.(1)m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程．(2)m取何值时，它是一元一次方程？利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3．若关于x的一元二次方程(3a－6)x2＋(a2－4)x＋a＋9＝0没有一次项，则a＝________.4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A．－1 B．0 C．1 D．26．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k 的值．7．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2015a－a2＋12 016的值．利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m ＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．限定方法解一元二次方程方法1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为()A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝24．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y 的值．方法3 能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(改编·宁夏)一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝27．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( )A ．x ＝－2±52B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0； (2)4x 2－3x －5＝x －2.选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( )A ．x ＝3B ．x ＝－4C ．x 1＝3，x 2＝－4D ．x 1＝3，x 2＝412．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝213．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0； (2)2x 2－3x ＋1＝0.用特殊方法解一元二次方程方法1构造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．方法2换元法a．整体换元16．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是()A．－2或3 B．2或－3C．－1或6 D．1或－617．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.b．降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒数换元19．解方程x－2x－3xx－2＝2.方法3特殊值法20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.专训三：根的判别式的四种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解2．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．利用根的判别式求字母的值或取值范围3．(2015· 咸宁)已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？利用根的判别式求代数式的值4．(2015·福州改编)已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)·x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．利用根的判别式确定三角形的形状5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．专训四：一元二次方程与三角形的综合名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用，一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的灵活运用．一元二次方程与三角形三边关系1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为()A．3 B．4C．3或4 D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21＝－4≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步) ∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ _______，第二步应用了________思想，确定a的值的大小是根据______________．一元二次方程与直角三角形3．已知a，b，c是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．4．已知△ABC的三边长a，b，c中，a＝b－1，c＝b＋1，又已知关于x的方程4x2－20x＋b＋12＝0的根恰为b的值，求△ABC的面积．一元二次方程与等腰三角形5．等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是()A．27 B．36 C．27或36 D．186．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．专训五：可化为一元二次方程的分式方程的应用名师点金：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？行程问题3．从甲站到乙站有150 km，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，匀速行驶，1 h后快车在慢车前12 km，结果快车比慢车早25 min到达乙站，快车和慢车每小时各行多少千米？工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天．(2)若甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程．(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？答案专训一1．D 点拨：由题意，得⎩⎨⎧m －3≠0，m ＋2≥0，解得m ≥－2且m ≠3.2．解：(1)当⎩⎨⎧m 2＋1＝2，m ＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m ＝1.即当m ＝1时，原方程可化为2x 2－x －1＝0.(2)当⎩⎨⎧m －2≠0，m ＋1＝0或者当m ＋1＋(m －2)≠0且m 2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m ＝－1或m ＝0.故当m ＝－1或m ＝0时，它是一元一次方程．3．－2 点拨：由题意得⎩⎨⎧a 2－4＝0，3a －6≠0.解得a ＝－2.4．解：由题意，得⎩⎨⎧m 2－1＝0，m －1≠0.解得m ＝－1.5．A 点拨：∵关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a(a ≠0)，∴a 2－ab ＋a ＝0.∴a(a －b ＋1)＝0.∵a ≠0，∴a －b ＝－1.6．解：把x ＝0代入(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2－16＝0，得k 2－16＝0，解得k ＝±4. ∵k ＋4≠0，∴k ≠－4.∴k ＝4.7．解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2 016x ＋1＝0的一个根， ∴a 2－2 016a ＋1＝0.∴a 2＋1＝2 016a ，a 2－2 016a ＝－1.∴a 2－2 015a －a 2＋12 016＝a 2－2 015a －2 016a 2 016＝a 2－2 015a －a ＝a 2－2 016a ＝－1.8．解：存在．由题意可知m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，∴m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1.∴(7m 2－14m ＋a)(3n 2－6n －7)＝[7(m 2－2m)＋a][3(n 2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(7＋a)，由－4(a ＋7)＝8得a ＝－9，故存在实数a ，且a 的值等于－9.专训二1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0， x 2＋4x ＝2， (x ＋2)2 ＝6， x ＋2 ＝±6，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.5．解： x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0， (x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0， (x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8，∴x y ＝58. 6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0， x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12.8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0， ∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13. ∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2， 4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x ＝4±642×4. ∴x 1＝32，x 2＝－12. 10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，y 2－y ＋14－94＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94，y－12＝±32，∴y 1＝2，y 2＝－1.(2)2x 2－3x ＋1＝0，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1.∴x ＝3±12×2.∴x 1＝1，x 2＝12.14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23.15．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0， 所以⎩⎨⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎨⎧n ＝－4，p ＝0. 所以m ＝n ＋8＝4，所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0. 16．B17．解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48， 即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48. 解得y 1＝7，y 2＝－7. 当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332；当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，无实数根． ∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.18．解：经验证，x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x＋62－35x ＋6x 2＝0，即6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋62＝0.设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2，原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103.当x ＋1x ＝52时，解得x ＝2或x ＝12；当x ＋1x ＝103时，解得x ＝3或x ＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.19．解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y ＝2，整理，得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x ＝3，∴x ＝－1.当y ＝－1时，x －2x ＝－1，∴x ＝1.经检验，x ＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.20．解：方程组⎩⎨⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029.方程组⎩⎨⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x －2 014＝t ，则x －2 013＝t ＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t ，进而求出x.专训三1．C 点拨：当k ＝0时，方程为一元一次方程，解为x ＝1；当k ≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2≥0，所以当k ＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k ＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解； 当k ≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C . 2．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根， ∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0， 即m<－1.∴对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4.∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根． 3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2. ∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0. ∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m ，x 2＝1.∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数．∴m ＝1或m ＝2. ∵两根不相等，∴m ≠2.∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0. ∴2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32.当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114， 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526. 5．解：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0， 即b 2＋c 2＝a 2.∴此三角形是直角三角形．专训四 1．C2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 分类讨论 方程根的定义3．解：△ABC 是直角三角形．理由如下：原方程可化为(b ＋c)x 2－2max ＋cm －bm ＝0，Δ＝4ma 2－4m(c －b)(c ＋b)＝4m(a 2＋b 2－c 2)．∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形．4．解：将x ＝b 代入原方程，整理得4b 2－19b ＋12＝0，解之得b 1＝4，b 2＝34.当b ＝4时，a ＝3，c ＝5，∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.∴S △ABC ＝12ab ＝12×3×4＝6；当b ＝34时，a ＝34－1<0，不合题意舍去．因此△ABC 的面积为6.5．B6．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b.故△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，所以a 2＝b 2＋c 2.故△ABC 是直角三角形．(3)如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，所以方程可化为2ax 2＋2ax ＝0.所以2ax(x ＋1)＝0.所以方程的解为x 1＝0，x 2＝－1.专训五1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x .整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解得x 1＝50，x 2＝60，经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，第二次采购每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意．因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x＋0.5＝150x ＋10，整理得x 2－90x ＋2 000＝0， 解得x 1＝40，x 2＝50，经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解，第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意．因此第二次采购玩具60件．2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5.方程两边同乘x(x －10)， 整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意． 因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：(50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8)－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．3．解：设慢车每小时行x km ，则快车每小时行(x ＋12)km ，由题意得150x －150x ＋12＝2560. 解得x 1＝－72(不合题意，舍去)，x 2＝60. 于是x ＋12＝72.∴快、慢车每小时分别行72 km 、60 km .4．解：(1)设乙工程队单独施工x 天可完成此项工程，则甲工程队单独施工(x ＋30)天可完成此项工程，由题意得20⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x ＋30＝1， 整理，得x 2－10x －600＝0，解得x 1＝30，x 2＝－20，经检验x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解，但x 2＝－20不符合题意，应舍去，故x ＝30，x ＋30＝60.故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫20－a 3 (3)由(2)和题意，得1×a ＋(1＋2.5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫20－a 3≤64.解得a ≥36. 故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．。