圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段O A 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

性质：圆内接四边形的对角。

【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2017•舟山）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB 于点C，连结AO 并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．215B．8C．210D．213思路分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=12AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在△R t AOC中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，如图，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在△R t ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE=AE2AB2==6，在△R t BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE=BE2BC=64213．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．对应训练1．（2017•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC= A．4122∠BOD，则⊙O的半径为（）B．5C．4D．3考点二：圆周角定理例2 （2017•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）A．3B．4C．5D．8222思路分析：连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A 的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径．解：如图，连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，在△R t BOC中，OB=8，OC=6，根据勾股定理得：BC=10，则圆A的半径为5．故选C点评：此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．对应训练2．（2017•珠海）如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°【聚焦中考】1．（2017•泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°2．（2017•滨州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°3．（2017•潍坊）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）A．42B．82C．25D．45 4．（2017•莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°5．（2017•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．（2017•日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD7．（2017•威海）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．7．解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴AD BD，1∴∠C=∠AOD，2∵∠AOD=∠COE，∴∠C=12∠COE，∵AO⊥BC，∴∠C=30°．（2）如图，连接OB，由（1）知，∠C=30°，»»∴∠AOD=60°， ∴∠AOB=120°， 在 △R t AOF 中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=3 1 ，OF= ，2 2∴AB= 3，∴S=S=阴影扇形△-S【备考真题过关】一、选择题12012 1 1 13 3360 2 2 34．1．（2017•厦门）如图所示，在⊙O 中，AB AC，∠A=30°，则∠B=（ ）A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°1．B2．（2017•昭通）如图，已知 AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（ ）A ．28°B ．42°C ．56°D ．84° 1．（2017•湛江）如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC=110°，则∠D=（ ） A ．25° B ．35° C ．55° D ．70°3．B4．（2017•宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦 AB ⊥CD 于 F ，连接 BC ，DB ，则下列结论错 误的是（ ）A ．AD BDB ．AF=BFC ．OF=CFD ．∠DBC=90°4．C5．（2017•温州）如图，在⊙O 中，OC ⊥弦 AB 于点 C ，AB=4，OC=1，则 OB 的长是（）A ．3B ．5C ． 15D ．17OAB OAB» » » »6．（2017•兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽 为 8cm ，水面最深地方的高度为 2cm ，则该输水管的半径为（ ） A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm7．（201•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 P ．若 CD=8，OP=3，则 ⊙O 的半径为（ ） A ．10B ．8C ．5D ．38．（2017•温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以 AB ，AC 为直径作半圆，过点 B ，A ，C 作BAC，如图所示．若 AB=4，AC=2，S -S =4，则 S -S 的值是（）A ．294B ．234C ．11 5D ．449．（2017•南通）如图．Rt △ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是AB 的中点，CD 与 AB 的交点为 E ，则CC DD等于（ ）A ．4B ．3.5C ．3D ．2.89．C10．（2017•乐山）如图，圆心在 y 轴的负半轴上，半径为 5 的⊙B 与 y 轴的正半轴交于点 A （0，1），过点 P （0，-7）的直线 l 与⊙B 相交于 C ，D 两点．则弦 CD 长的所有可能的 整数值有（ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个10．C11．（2017•安徽）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判 断中，不正确的是（ ）¼1 2 3 4 »A ．当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形 B ．当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C ．当 PO ⊥AC 时，∠ACP=30°D ．当∠ACP=30°时，△BPC 是直角三角形二、填空题12．（2017•张家界）如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=．13．（2017•盐城）如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，使AB经过圆心 O ，则∠OAB=．14．（2017•绥化）如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径 OC ，垂足为 D ，若⊙O 的半径为 2，则弦 AB 的长为 ．15．（2017•株洲）如图 AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点 D 是弦 AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．． 16．（2017•扬州）如图，已知⊙O 的直径 AB=6，E 、F 为 AB 的三等分点，M 、N 为 两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则 EM+FN=AB上17．（2017•广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，⊙P 与 x 轴交于 O ，A 两点，点 A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为13，则点 P 的坐标为．18．（2017•娄底）如图，将直角三角板 60°角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于 A 、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A 、B 不重 合），则∠APB= ．三、解答题19．（2017•深圳）如图所示，该小组发现8 米高旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小 桥所在圆的半径的活动．小刚身高 1.6 米，测得其影长为 2.4 米，»»同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．19．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12-3-1=8（m），∴GM=MH=4m，∵MN=2m，∴GO2=MO2+42，∴r2=（r-2）2+36，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．20．（2017资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．20．解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=11AC=×2=1，22∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=12r，在△R t AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（12r）2，解得r=233；（2）如图 2，连接 BC ， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°， ∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，根据翻折的性质， 所对的圆周角等于 所对的圆周角，∴∠DCA=∠B-∠A=65°-25°=40°．21．（2017•贵阳）已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为 10，OE 、OF 分别交 AB 于点 E 、F ，OF 的延长线交⊙O 于点 D ，且 AE=BF ，∠EOF=60°． （1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当 AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和 π） 21．（1）证明：作 OC ⊥AB 于点 C ，∵OC ⊥AB ， ∴AC=BC ， ∵AE=BF ， ∴EC=FC ， ∵OC ⊥EF ， ∴OE=OF ， ∵∠EOF=60°，∴△OEF 是等边三角形；（2）解：∵在等边△OEF 中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE ， ∴∠A=∠AOE=30°， ∴∠AOF=90°， ∵AO=10，∴OF=10 3 3，∴S = △1 10 3 50 3 90× ×10= ，S = ×102=25π， 2 3 3 360∴S =S -S =25π- 阴影 扇形 △50 33．22．（2017•黔西南州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 与点 E ，点 P 在⊙O 上，∠ 1=∠C ，（1）求证：CB ∥PD ；（2）若 BC=3，sin ∠P= 3 5，求⊙O 的直径．22．（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠CAC ADC » ¼AOF AOD 扇形 AOD AOF∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴BC BD，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB= BC3即=，AB535，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．»»。