第十三章 机械振动基础
一、目的要求
1、掌握建立各种类型单自由度系统振动（自由振动、阻尼振动、受迫振动）微分方程的方法及其解的表达式。

理解恢复力、阻尼力和干扰力的概念。

2、对各种类型振动规律有清晰的理解，会计算有关的物理量。

深刻理解自由振动的固有频率（或周期）、振幅、初相位角的概念。

会应用各种方法特别是能量法，求固有频率。

了解阻尼对自由振动的干扰、幅频曲线、共振和放大系数的概念。

3、懂得如何利用振动现象，以及消振和隔振的原理与方法。

二、基本内容
1．基本概念
单自由度系统的自由振动，计算固有频率的能量法；单自由度系统的有阻尼自由振动；单自由度系统的无阻尼受迫振动；单自由度系统的有阻尼强迫振动；转子的临界转速；隔振。

2．主要公式
（1）单自由度系统无阻尼自由振动微分方程
02=+x x
n ω m k n /2
=ω 单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的解
)sin(ϕω+=t A x n
2202
n
x x A ω +
= 0
0x x tg n
ωϕ=
n ω是系统的固有（圆）频率，A 为自由振动的振幅，ϕ为初相位。

n
T ωπ
2= 是系统的自由振动的周期。

T
f 1
=
是系统自由振动的频率。

能量法求单自由度系统无阻尼自由振动的固有频率
max max V T =（注意：计算最大势能max V 时，取系统的静平衡位置为势能零点。

）
（2）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程
022
=++x x n x n ω m
c
n =
2 其中式c 是系统的粘滞阻尼系数。

小阻尼情况下（n n ω<）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程的解
)sin(d d nt t Ae x ϕω+=-
2
220020
)(n
nx x x A n -++=
ω ， 2
221ξωωω-=-=n n d n 002
2
0nx x
n x tg n d +-= ωϕ
n
n
ωξ2=
为系统的阻尼比。

有阻尼自由振动的周期
2
2
12n
T n
-=
ωπ
减幅系数11
nT i i
e A A ==
+η 对数减幅系数11
1ln ln
ln nT e A A nT i i
====+ηδ （3）单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程
t h x x n ωωsin 2
=+
m
F h 0
=
0F 为激振力的力幅 单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程的解
t h
t A x n
n ωωωϕωsin )sin(2
2-+
+= 稳态解 t h
x n
ωωωsin 2
2-=
共振的条件 n ωω≈
（4）单自由度系统有阻尼受迫振动的微分方程
t h x x n x n ωωsin 22
=++
单自由度系统有阻尼受迫振动的微分方程的解
)sin(4)sin(2
22εωω
ωϕω--+
+=-t n h
t Ae x d
d d nt
2
2d
n tg ωω
ε=
三、重点和难点
1．重点
（1）单自由度系统自由振动，自由振动的固有频率和求固有频率的方法。

（2）单自由度受迫振动，受迫振动的幅频曲线、共振现象。

2．难点
用能量法计算系统的固有频率时，势能零点的选择。

四、教学提示
1．建议
单自由度振动问题是研究多自由度系统振动的基础，在学习中应注意： （1）讲清如何将机械振动系统抽象为理想的力学模型——弹簧质量系统，明确恢复力的概念及常见恢复力（力矩），会列各种类型单自由度系统微分方程。

（2）对诸如固有频率、周期、振幅、位相和初位相等物理量，要讲清它们与那些因素有关，并熟记它们的计算公式及多种计算方法。

（3）阻尼对振动的影响、受迫振动微分方程求解过程等不作重点介绍，但对共振产生的条件要讲透，减振和隔振原理简单说明即可。