大角度简化方法
sin 3 5 7
3! 5! 7!
系统振动的Duffin方程
(t) g (t) g 3(t) 0
l
6l
振动工程研究所
刚体摆
质量为m，质心C距铰中心O距离为l
O l
绕固定铰使用动量矩定理
考虑小角度条件 sin
C
J0&& mgl 0
扭转振动方程
J&& kT 0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应

(t)


(0)
cos

nt

(0) n
sin
nt
振动工程研究所
梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
等效刚度
ke
1 2
mvc2

1 2
Jc2

3 4
m(R

r)22
O
R
vc
r
C
A
B
重力势能为 V mgh 1 mg(R r) 2
2
Vmax

1 2
mg(R

r)
2 m
,
Tref

3 4
m(
R

r)2
2 m
由 Rayleigh 商 得
系统固有频率为
n
Vmax T ref
2g 3(R r)
• 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特入点 简
mu(t) ku(t) 0
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1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 & &
注意
m u (t) ku(t) 0
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u(0) u0, u(0) u0
振动工程研究所

P

48EI l3
P
EI

l
l
2
2
振动工程研究所
系统自由振动方程为 mu(t) keu(t) 0 振动固有频率
n
ke m
48EI ml 3
悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确 定自由度与给出等效刚度
振动工程研究所
*用能量法确定固有频率
（一种简单方法，也可发展用于近似求多自由 度系统固有特性）
方程
mu ku 0 固有频率 n
k m
初始条件 u0 0, u0 v0
振幅
a
u02
( u0 ) 2
n
v0
n
v0
m k
由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为
T2 ka v0 mk
钢丝绳中总张力的最大值是
T T1 T2 mg v0 mk
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
u(t) uest
(ms 2 k)u 0
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因为u 0 ,故得到有特征方程
（以s为变量的代数方程）
ms2 k 0
特征解（根）为 s j n
def
其中 n
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复数法的位移、速度、加速度关系
z ae j e j0t ae j(0t )
z
j0ae j(0t )
ae j(0t2 j(0t )
0
ae 2 j(0t ) 0
k m 为固有圆频率.
或
fn
def

1
2
k m
Hz
固有频率 （固有
周期？）
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自由运动方程的通解可取为:
u(t) a1 cos nt a2 sin nt
或 u(t) a sin( nt )
其中 a1, a2 或 a, 为积分常数。由初
始条件定。
a1 u0 ,
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1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
c
k
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
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方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
4
不两
u +u
a(t)
12
同个
2
的振
谐幅 振、
u0
F1 F2
动 合 成
相 位 、
-2
F3
频 率
-4 0 2 4 6 8 10 12
都
t
同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。
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李沙育（Lissajous）图
• 振动方向相互垂直的简谐振动合成 • 示波器观测频率与象位的传统工具
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2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t) 2a cos(2 1 t 2 1 ) sin(2 1 t 2 1 )
2
2
2
2
a (t)sin[2 1 t (t)]
2
谐同两 振、个 动频振 合率幅 成接相
近同 且， 可而 通相 约位 的不
固有频率及固有周期
mg

n
mgl , J0
Tn 2 π
J0 mgl
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与材料力学联系
单自由度扭振
假定盘和轴都为均质体，不考
GI kT
l
虑轴的质量。设扭矩作用在盘
面，此时圆盘产生一角位移，

Tl 其中 I π d 4
GI
32
定义轴的扭转刚度为
kT

T


GI l
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tan 1
nu0
u0
)
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刚度元件的串并联
u2 k1 u1
f
f
k2
u3 u2 u1
f
f
k2 k1
两个并联弹簧刚度增加,
k

f

k1
k2
两个串联弹簧刚度削弱, k k1k2 k1 k2
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例: 升降机钢丝绳中最大张力
v0
k
v0
m
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解：
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1.3 等效单自由度系统
• 物理系统多样
数学模型唯一(等效性)
• 工程实际简化例子 汽车乘员抗颠簸性研究 翼尖挂弹环境研究 摩天轮刹车性能研究
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摆
• 振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重 力提供。 (势能提供者为重力，地球是储能元
件) 动力矩方程或力矩平衡方程
O
ml 2(t) mgl sin (t) 0
1 e j
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三种表示法的差异
三角函数最直接、最常用。 旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。 复数法与三角函数是一致的。
取虚部
向Y轴投影
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• 简谐振动的合成
频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动， 且频率不变。
u1(t) a1 sin(0t 1) u2 (t) a2 sin(0t 2 )
4
u +u 12
a(t)
2
u0
-2
-4 0 2 4 6 8 10 12
t
振动工程研究所
几个概念
• 拍:周期振动的一种 • 拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率
(差一倍) • 包络线:有两条
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def
a(t)
2a cos( 2
1
t

2
1
)
2
2
(t) 1 2
l m
(t) g sin (t) 0
l 振动的幅度很小时
sin
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小角度简化方程为
(t) g (t) 0
l
系统振动的固有频率
n
g l
周期与摆线长关系
l gTn2 4π 2
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周期误差与角度关系
0

6

3

2
T T0 1 1.02 1.07 1.18
第一章 单自由度系统的振动
1
振动分类（自由度）
• 单自由度 • 多自由度（有限自由度）－>大自由度 • 连续体（无限自由度）
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振动分类（运动特点）
• 简谐振动 • 周期振动（可分解为若干简谐振动之和） • 非周期确定性振动
（可分解为无限个简谐振动之和）
*概周期振动 *一般确定性运动 • 随机振动 • 混沌振动
振动工程研究所
研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。 • 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
振动工程研究所
1.0 振动的描述
1.0.1 简谐振动的表示 • 三要素：振幅、频率、相位（概念复习）
简谐振动的三种表示法 – 三角函数法
u(t) a sin( 0t )