函数的概念及基本性质【知识要点】1. 函数的概念：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意 一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈，其中，自变量x 的取值范围A 称为函数的定义域；与x 的值对应的y 值得取值范围(){}f x x A ∈称为函数的值域；2. 函数的三要素：____________ 、____________、__________________；3. 函数的三种表示方法：____________ 、____________、__________________；4. 相同函数需要满足的条件：____________和______________相同就表示同一个函数；5. 复合函数的概念：设()y f u = ，()u g x = ，设函数()u g x =的定义域为D ，函数()u g x =的值域为M ，函数()y f u =的值域为N ，则函数()u g x =的值域M 就是函数()y f u =的定义域，当函数()u g x =的自变量x 在定义域D 内变化时，函数()u g x =的值在函数()y f u =的定义域内变化，因此变量x 与变量y 通过中间变量u 形成的一种函数关系，记为[()]y f g x = 。

6. 分段函数：在定义域内不同部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数。

7. 映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。

【知识点1】函数概念的理解【例1】判断下列对应是否为A 到B 的函数. （1）R A =，{}0B x x =>，x y x f =→：； （2）Z A =，B Z =，2x y x f =→：； （3）A Z =，B Z =，x y x f =→：；（4）{}11≤≤-=x x A ，{}0B =，0=→y x f ：.【例2】设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．【练习】下列对应是A 到B 的函数的是（ ）.A A R =,B R =,对应法则：f 取倒数 {}0.>=x x A B ,B R =,对应法则：f 求平方根 {}.0C A x x =>，B R =，3:f x y x x →=+{}.55D A x x =-≤≤，{}55B y y =-≤≤，22::25f x y x y →+=【点评】判断一个对应是不是函数，关键看数集A 中的元素x 在数集B 中是否有唯一的元素y 与之对应，若要否定，只要举一个反例即可. 【知识点2】函数相同【例3】下列四组函数中，哪组表示同一函数（ ）()()0.1A f x x =-与()1g x = 与()g x =()21.1x C f x x -=+与()211xg x x +=+ ()2.D f x x=与()2g t =【练习】下列各组中的两个函数是一个函数的是（ ）().A f x ()g x =().B f x ()g x =()()2.2x C f x x -=-与()g x =()29.3x D f x x -=-与()3g x x =+ 【知识点3】映射概念的理解【例4】设集合{}c b a A ,,=，集合R B =，以下对应关系中，一定能建立从A 到B 的映射的是（ ）.A 对A 的数开平方 .B 对A 的数求倒数 .C 对A 的数取算术平方根 .D 对A 的数开立方 【练习】下列对应是否为A 到B 的映射？能否构成函数？（1）A R =，B R =，1:f x y x→=； （2）[)0,A =+∞，B R =，:f x y →，22y x =；（3）{}A =三角形，{}B =圆，:f 作三角形的内切圆.【点评】判断一个对应是否为映射，关键看这个对应是否符合任意性与唯一性。

【知识点4】函数的定义域 【例5】求下列函数的定义域. （1）()f x =；（2）()2156f x x x =--；（3）()311x f x x -=-；（4）.().B f x x =()()022f x x x -=-+【练习】1.求下列函数的定义域（1）y =； （2）()02y x =+-2.函数()f x =）[].2,2A - {}.2,2B - ()().,22,C -∞-+∞ (][).,22,D -∞-+∞【点评】目前求函数的几条基本原则是： （1）分式中分母不能为零； （2）偶次根式中被开方数非负； （3）0x 及()n x n N -*∈的底数0x ≠；（4）求定义域是在原函数中求，不能随意对函数式进行变形. 【例6】已知函数()f x 的定义域为[]2,3，求函数11f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域.【练习】（1）已知函数()x f 定义域为[]2,0，则函数()2+x f 的定义域为 . （2）已知函数()1+x f的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛9,49，则函数()x f 的定义域为 .【点评】复合函数中间变量的范围一致. 【知识点5】函数的解析式【例7】求满足下列各条件的函数()f x 的解析式. （1）()3212+-=+x x x f ；（2）2242xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-；（3）()()232+=-+x x f x f ；【练习】求下列各题中函数()y f x =的解析式. （1）()x x x f 84+=+；（2）()2312+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f .【点评】求一般函数解析式的方法：①换元法：此种方法适用于复合函数情形，一般先将函数式中间变量进行换元，具体步骤：换元→反解x →代入→求解析式，但注意换元过程中要求出新元的范围作为原函数的定义域；②配凑法：此种方法适用于复合函数中间变量结构较复杂的情形，注意代数式与中间变量之间的关系（一般是平方或倒数关系），然后再整体替换即可；③构建方程组法：适用于函数方程中变量是以x -和x 、1x 和x 组合形式出现的，一般用x -代x 或1x代x ，得到一个新的方程，并与原方程一起构建一个方程组，将()f x 视为未知数，求出()f x 便可得出答案； ④待定系数法【例4】已知函数()x f 为一次函数，且()[]34+=x x f f ，求函数()x f 的解析式.【练习】已知a 、b 为常数，若()243f x x x =++，()g x 为一次函数，且()[]24102++=x x x g f ，则函数()=x g .【点评】在利用待定系数法求函数解析式时，自变量次数（结构）相同的系数相等.【知识点6】分段函数的图像【例8】求出右图中图象所表示的函数解析式为_____________________【练习】函数xy x x=+的图象是（ ）【点评】在由函数解析式识别函数图象或由函数图象辨别函数解析式，一般可以用两种方法解决，一种是利用特殊点排除某些选项；另外是由函数的相关信息，求出函数解析式或画出函数的图象，从而得出正确的答案，同时注意某些关键点的作用，能起到简化求解的作用.【例9】作下列函数的图象.（1）22,1,124,21x x y x x x x ⎧⎪+≤-⎪=-<<⎨⎪⎪≥-⎩；（2）322--=x x y ；（3）322--=x x y .【练习】1.作函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,11122x x x x x x f ，的图象；2.作函数245y x x =--的图象.【点评】函数()()x x x y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−→=保留轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴对折的图象的图象；函数函数()()y y y y f x y fx =−−−−−−−−−−−−−−→=保留轴右方的部分，将轴右边的图象关于轴对折的图象的图象。

【知识点7】分段函数求值与分段不等式问题【例10】设函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=1,111,212x x x x x f ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f 的值为（ ） 21.A 134.B 59.-C 4125.D 【练习】设()⎩⎨⎧>-+≤-=1,21,122x x x x x x f ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡21f f 的值为（ ） 1615.A 1627.-B 98.C 18.D 【点评】求分段函数值时，关键要根据自变量的范围选择合适的解析式，而且在求上题中的函数值时，要注意求值时，由内到外进行.【例11】已知函数()21,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f a =，求a 的值.【练习】设()22,22,2x x f x x x ⎧+≤=⎨⎩＞，若()8f x =，则x = .【点评】解此类问题应注意每个区间都应该讨论，不能漏解.【例12】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0,2210,2x x x x x f ，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【练习】已知函数()()21,121,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+≤-⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩，若()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）()1.,2,2A ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭11.,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭()().,20,1C -∞- ()1.2,1,2D ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭【知识点8】分段函数的定义域与值域【例13】已知函数()21,121,02,2x x f x x x x x ⎧<-⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎩，试画出函数()y f x =的图象，并指出函数()y f x =的定义域与值域.【练习】已知函数()()21,222,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+≤-⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩，试指出函数()y f x =的定义域与值域.【点评】分段函数的定义域与值域的取得其实是将每部分函数的定义域与值域分别合并而得到，现阶段要得出分段函数的值域，最好的办法就是能画出函数的图象，从图象中得到信息.【知识点9】复合函数求值【例14】已知()12g x x =-，()221x f g x x -=⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） .1A .4B .15C .30D 【练习】已知函数()2312+=+x x f ，且()2=a f ，则a 的值为 .【点评】对复合函数求值时，常规办法就是将各个函数的解析式求出来，然后再代数求解.本例中关键问题就是要知道自变量的值，所以求出自变量的值时本例的核心，利用第二种方法能简化计算.【知识点10】函数解析式的应用【例15】已知函数()221x x x f +=，那么()()()()11123423f f f f f f ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .【练习】已知函数()312f x ax x=-+， 则()()()201120101f f f -+-+⋅⋅⋅+-()()()122011f f f +++⋅⋅⋅+= .【点评】做此类问题一定要注意自变量之间的相互关系，除了倒数之外，常见的还有互为相反数等关系，这两种都是常考的.【课堂练习】 1.函数()x x x y +-=1的定义域是（ ）{}0.≥x x A {}1.≥x x B {}{}.10C x x ≥{}10.≤≤x x D2.已知221111x xx x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，则()x f 的解析式可取为（ ） 21.x x A + 212.x x B +- 212.x x C + 21.x xD +- 3.设函数()()⎩⎨⎧≥--<+=1,141,12x x x x x f ，则使得()1≥x f 的x 的取值范围是 .4.下列各组函数中，哪组表示同一函数？（1）y =2y =； （2）242x y x -=+与2y x =-；（3）1y =与0y x =； （4）y x =与y =5.①若函数f (x ) 的定义域为[-2，4]，则函数f (x 1)+的定义域为________________；②若函数2f (x )的定义域为[-2,3]，求函数f (x )的定义域为____________________；6.若f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]9x 4=+，则f (x )的解析式为_______________；7.若2f (x )3f (x )2x +2+-=，则f (x )的解析式为_________________________； 【巩固练习】1.函数()162-++-=x x x x f 的定义域是 . 2.函数，（）满足，则常数c= .3.已知函数定义域是，则的定义域是（ ）4.设函数，若，则实数_________.5.已知集合，集合，下列表示从到的对应关系不是映射的是（ ）6.设函数，若，，则关于的方程的解的个数是（ ）7.已知，且，则 .8.设函数，若0()1f x ＞ ，则的取值范围是______ _________．9.设函数. 若，则实数（ ）.4-或2- .4B -或2 2-或4 2-或210.设集合A={a ，b ，c}，B={0，1}.试问从A 到B 的映射共有多少个？并将它们一一列举出来。