数列基础知识点和方法归纳
一．等差数列的定义与性质
定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-
等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；
(3)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ
（4）项数为奇数12-n 的等差数列{}
n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-
练习题： 1.已知}{n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )
A ．13
B ．35
C ．49
D ． 63
3.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝
A.－2
B.－12
C.12
D.2 4.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于（ ）
A ．18
B 27
C 36
D 9
5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95
S S = 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=
8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =
9、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：}{n a 的通项公式a n
及前ｎ项的和S n ；
10.已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .
二．等比数列的定义与性质 定义：1n n
a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=
，或G =
前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩
（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列
（1）若m n p q +=+，则m
n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？
1n =时，11a S =；
2n ≥时，1n n n a S S -=-.
练习题
1.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则
d
c b a ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．41 D ．81 2.已知}{n a 是等比数列，且0>n a ，243546225a a a a a a ⋅+⋅+⋅=，那么53a a + 的值是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．25
3.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于（ ）
A ．1023
B ．1024
C ．511
D ．512
4.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则4
1a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2
1=q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ） A ．231 B ．233 C ．235 D ．2
37 6.已知等比数列}{n a 中，102=a ，203=a ，那么它的前5项和5S =__________。

7.等比数列}{n a 的通项公式是n n a -=42，则5S =__________。

8．在等比数列}{n a 中，已知5127=•a a ，则111098a a a a •••=__________。

9．设三个数a ，b ，c 成等差数列，其和为6，又a ，b ，1+c 成等比数列，求此三个数。

三．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列{}n a ，12211125222
n n a a a n +++=+……，求n a
［练习］数列{}n a 满足111543
n n n S S a a +++==，，求n a
（2）叠乘法（累乘法）【形如()1
n n a f n a -=】 如：数列{}n a 中，1131
n n a n a a n +==+，，求n a
［练习］数列{}n a 满足()1111,2n n n a a a n n
--==
≥，求n a
（3）累加法【形如()1n n a a f n --=】
如：数列{}n a 满足1132,2n n a a n a -=++=，求n a
［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a
（4）等比型递推公式【形如1n n a ca d -=+】
如：111,32n n a a a +==+，求n a
［练习］数列{}n a 中，111,69n n a a a +==+，求n a
（5）倒数法（难，可不掌握） 如：11212
n n n a a a a +==+，，求n a
四．求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111n
k k k a a =+∑
解：由
()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭· ∴11111223111111111111n n k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭
［练习］求和：111112123123n +
++++++++++…………
（2）错位相减法
若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.
如：2311234n n S x x x nx -=+++++……
［练习］设数列{}n a 中，21123333,3
n n n a a a a n Z -++++=∈L ，求 （1）n a 的通项公式；（2）设n n n b a =，求数列n b 的通项公式。