赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

DBC2015-2016学年山西省阳泉市平定县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将你认为正确的选项字母填入下表空格内，每小题3分，共30分）1．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．2．（3分）使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣13．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF4．（3分）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．85．（3分）在分式中，若将x、y都扩大为原来的2倍，则所得分式的值（）A．不变B．是原来的2倍C．是原来的4倍D．无法确定6．（3分）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（）A．3 B．±6 C．6 D．+37．（3分）等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定8．（3分）若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．9．（3分）四个学生一起做乘法（x+3）（x+a），其中a＞0，最后得出下列四个结果，其中正确的结果是（）A．x2﹣2x﹣15 B．x2+8x+15 C．x2+2x﹣15 D．x2﹣8x+1510．（3分）如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE恰好平分∠ABC，有以下结论：（1）ED=EC；（2）△ABC的周长等于2AE+EC；（3）图中共有3个等腰三角形；（4）∠A=36°，其中正确的共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：am2﹣4an2=．12．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是．13．（3分）如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB=7cm，BC=12cm，AC=9cm，DO=2cm，那么OC的长是cm．14．（3分）若分式的值为零，则x的值为．15．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=．16．（3分）如图，在ABC中，AP=DP，DE=DF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：①AD平分∠BAC；②△BED≌△FPD；③DP∥AB；④DF是PC的垂直平分线．其中正确的是．三、解答题（共8个小题，共72分）17．（8分）分解因式：（1）2x2+4x+2（2）16（a+b）2﹣9（a﹣b）2．18．（8分）解方程：（1）=（2）+=1．19．（8分）（1）化简：（﹣1）÷（2）先化简，再求值：+，其中a=3，b=1．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B （3，1），C（﹣2，﹣2）．（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△DEF（A，B、C的对称点分别是D、E，F），并直接写出D、E、F的坐标．（2）求△ABC的面积．21．（10分）（1）将多项式3x2+bx+c分解因式的结果是：3（x﹣3）（x+2），求b，c的值．（2）画图：牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处将牛牵到河边C处饮水后再回家，试问C在何处，所走路程最短？（保留作图痕迹）22．（8分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．23．（10分）某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．24．（12分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．2015-2016学年山西省阳泉市平定县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将你认为正确的选项字母填入下表空格内，每小题3分，共30分）1．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选B．2．（3分）使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：A．3．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选B．4．（3分）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．故选B．5．（3分）在分式中，若将x、y都扩大为原来的2倍，则所得分式的值（）A．不变B．是原来的2倍C．是原来的4倍D．无法确定【解答】解：分式中，若将x、y都扩大为原来的2倍，则所得分式的值不变．故选：A．6．（3分）若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（）A．3 B．±6 C．6 D．+3【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是完全平方式，∴﹣kxy=±2×3y•x，解得k=±6．故选：B．7．（3分）等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；故选C．8．（3分）若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：整理已知条件得y﹣x=2xy；∴x﹣y=﹣2xy将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得====．故答案为B．9．（3分）四个学生一起做乘法（x+3）（x+a），其中a＞0，最后得出下列四个结果，其中正确的结果是（）A．x2﹣2x﹣15 B．x2+8x+15 C．x2+2x﹣15 D．x2﹣8x+15【解答】解：（x+3）（x+a）=x2+（3+a）x+3a，∵a＞0，∴（x+3）（x+a）=x2+（3+a）x+3a=x2+8x+15，故选：B．10．（3分）如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE恰好平分∠ABC，有以下结论：（1）ED=EC；（2）△ABC的周长等于2AE+EC；（3）图中共有3个等腰三角形；（4）∠A=36°，其中正确的共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：（1）由题意可知DE⊥AB，BE平分∠ABC，∴当EC⊥BC时，有ED=EC，∵AB=AC，∴∠ACB不可能等于90°，∴ED=EC不正确；（2）∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴EA+EB+AB=EA+EA+AB=2EA+AB，∵AB=AC，且AC=AE+EC，∴EA+EB+AB=3AE+EC，∴（2）不正确；（3）∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC，∵EA=EB，∴△EAB为等腰三角形，∠A=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠C=2∠CBE，又∠BEC=∠A+∠ABE=2∠CBE，∴∠BEC=∠C，∴BE=BC，∴△BEC为等腰三角形，∴图中共有3个等腰三角形，∴（3）正确；（4）由（3）可得∠BEC=∠C=2∠EBC，∴2∠EBC+2∠EBC+∠EBC=180°，∴∠EBC=36°，∴∠A=∠ABE=∠EBC=36°，∴（4）正确；∴正确的有（3）（4）共两个，故选C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：am2﹣4an2=a（m+2n）（m﹣2n）．【解答】解：am2﹣4an2=a（m2﹣4n2）=a（m+2n）（m﹣2n），故答案为：a（m+2n）（m﹣2n）．12．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是5．【解答】解：设该多边形的边数为n则（n﹣2）×180=×360解得：n=5故答案为5．13．（3分）如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB=7cm，BC=12cm，AC=9cm，DO=2cm，那么OC的长是7cm．【解答】解：由题意得：AB=DC，∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OC=BO=BD﹣DO=AC﹣OD=7．故答案为：7．14．（3分）若分式的值为零，则x的值为1．【解答】解：，则|x|﹣1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x≠﹣1．故x=1．故若分式的值为零，则x的值为1．15．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=3．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．故答案为：3．16．（3分）如图，在ABC中，AP=DP，DE=DF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：①AD平分∠BAC；②△BED≌△FPD；③DP∥AB；④DF是PC的垂直平分线．其中正确的是①③．【解答】解：∵DE=DF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴AD平分∠BAC，故①正确；由于题目没有给出能够证明∠C=∠DPF的条件，只能得到一个直角和一条边对应相等，故无法根据全等三角形的判定证明△BED≌△FPD，以及DF是PC的垂直平分线，故②④错误；∵AP=DP，∴∠PAD=∠ADP，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠ADP，∴DP∥AB，故③正确．故答案为：①③．三、解答题（共8个小题，共72分）17．（8分）分解因式：（1）2x2+4x+2（2）16（a+b）2﹣9（a﹣b）2．【解答】解：（1）原式=2（x2+2x+1）=2（x+1）2；（2）原式=[4（a+b）+3（a﹣b）][4（a+b）﹣3（a﹣b）]=（7a+b）（a+7b）．18．（8分）解方程：（1）=（2）+=1．【解答】解：（1）去分母得：2x=3x﹣15，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1+x﹣2=x2﹣x﹣2，解得：x=﹣，经检验x=﹣是分式方程的解．19．（8分）（1）化简：（﹣1）÷（2）先化简，再求值：+，其中a=3，b=1．【解答】解：（1）原式=•=﹣1；（2）原式=+==，当a=3，b=1时，原式===．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B （3，1），C（﹣2，﹣2）．（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△DEF（A，B、C的对称点分别是D、E，F），并直接写出D、E、F的坐标．（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）△DEF如图所示，D（﹣2，3），E（﹣3，1），F（2，﹣2）；（2）△ABC的面积=5×5﹣×4×5﹣×5×3﹣×1×2=25﹣10﹣7.5﹣1=25﹣18.5=6.5．21．（10分）（1）将多项式3x2+bx+c分解因式的结果是：3（x﹣3）（x+2），求b，c的值．（2）画图：牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处将牛牵到河边C处饮水后再回家，试问C在何处，所走路程最短？（保留作图痕迹）【解答】解：（1）∵3x2+bx+c=3（x﹣3）（x+2）=3（x2﹣x﹣6）=3x2﹣3x﹣18，∴b=﹣3，c=﹣18；（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点C，点C就是所求的点．22．（8分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．23．（10分）某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【解答】解：设规定日期为x天．由题意得++=1，．3（x+6）+x2=x（x+6），3x=18，解之得：x=6．经检验：x=6是原方程的根．方案（1）：1.2×6=7.2（万元）；方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；方案（3）：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．∵7.2＞6.6，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．24．（12分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．（2）BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD．。