第六章习题解答1． 已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。

并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。

[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。

步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。

到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2． 已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。

为最好点，0203x x 2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011Rx x ，进行新的一轮迭代。

5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3.151.7753.30.5533211c x 6）计算新一轮迭代的反射点得：，完成第二次迭代。

值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1201112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x α3． 设已知在二维空间中的点[]T x x x 21=，并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=∇，目标函数的梯度[]T f 15.0-=∇，试用简化方法确定一个适用的可行方向。

[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k kx f P x f P d ∇∇-=/)(kx 点的目标函数梯度为：[]T k x f 15.0)(-=∇kx点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：[]T k x g G 11)(1--=∇=梯度投影矩阵P 为：[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--5.05.05.05.0011111111100111TTGGG G I P 则：适用可行方向为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5kd4． 已知约束优化问题：00)(34)(min 3322113)43(222121≤-=≤-=≤-=⋅-+-=x g x g x g ts x x x x x x f 试求在[]T kx1/21/4=点的梯度投影方向。

[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k kx f P x f P d ∇∇-=/)(kx 点的目标函数梯度为：[]T k x f 125.0125.0--=∇)(kx点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：[]T k x g G 001)(1-=∇=梯度投影矩阵P 为：[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--10001000000100100100110001000111TT G GG G I P则：适用可行方向为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100kd312)(2112221≤-=⋅+-+=x g ts x x x x f m in（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=21)(ln )(),(u u x g r x f r x φ，然后用解析法求解。

） [解] 构造内点惩罚函数：[]∑=--+-+=-=21)()(),(u u x r x x x x g r x f r x )3ln(12ln 212221φ令惩罚函数对x 的极值等于零：0)3/()(222221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=x r x x dx d φ 得：48366121r x x +±== 舍去负根后，得483662rx ++=当 []T x x r 31302=→→该问题的最优解为，时，。

00)( min1 2221 121≤-=≤-=⋅+=xgx xgtsxxxf[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubroutine hhx(n,kh,x,hx)domension x(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ==============N= 2 KG= 2 KH= 0X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01PEN = .5000000E+01R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ==============IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06X : .9493056E-07 .7203758E-07FX: .1669681E-06GX: -.7203757E-07 -.9493056E-077．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：1)(0)()(2121112≤-+=≤-=⋅-=x x x h x x g ts x x x f ln m in[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) endsubroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1 end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 3 KH= 1 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 HX: .2000000E+01 PEN = .5942695E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00 X : .1000006E+01 .3777877E-05 FX: -.1000012E+01GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05 HX: -.2616589E-06。