第1章1.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选一个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________．解析： ①∠A ＞∠B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象． 答案： ①②③6．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根 假 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数． 解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解析： 命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1， ∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4. ∴x ≥4或x ≤－1. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满足的条件． 方程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2，求a 满足的条件． 解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时， 方程有解x ＝－1b.当a ≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为 Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有解． (2)∵命题当x 1<x 2<0时，a x 1>a x 2为假命题， ∴应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤a x 2. 即a x 2－x 1x 1x 2≤0.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∴a ≤0.第1章 1.2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |. 故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件． 答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，而tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．故选A.答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x ≥2且y ≥2， ∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 由题意得：故D 是A 的必要不充分条件 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号) (1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件 (2)A ∩B ≠∅是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 解析： (1)因x >2且y >3⇒x ＋y >5，x ＋y >5⇒/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件． (2)因A ∩B ≠∅⇒/ A B, A B ⇒A ∩B ≠∅. 故A ∩B ≠∅是A B 的必要不充分条件． (3)因b 2－4ac <0⇒/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ，ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ⇒a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件． (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形． 答案： (1)(2)(3) 6．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0＝{x |0<x <1}．m ∈A ⇒m ∈B ，m ∈B ⇒/ m ∈A .∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． 答案： 充分不必要三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件， 则p ⇒q 但q ⇒/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．证明： 充分性：∵0<a <45，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0， 则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立． 而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立． 必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45.故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析： 先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件， 所以A ⊆B ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( ) A ．p 为真命题，p 且q 为假命题 B ．p 为假命题，q 为假命题 C ．q 为假命题，p 或q 为真命题 D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析： ∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④解析： ∵綈p ∨綈q 是假命题 ∴綈(綈p ∨綈q )是真命题 即p ∧q 是真命题 答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题． 若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件． 答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析： ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数，∴y ＝2x－2－x在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．“a ≥5且b ≥3”的否定是____________； “a ≥5或b ≤3”的否定是____________． 答案： a ＜5或b ＜3 a ＜5且b ＞3 6．在下列命题中：①不等式|x ＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“非p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，所以非p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q 为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“非p”的形式，其中p：A⊆A∪B.因为p为真命题，所以“非p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8∉{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：∅ A尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B . 所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章1.4.1、2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题．C 中当x ＝0时，x 2＝0不大于0，是假命题． D 中∀x ∈R,2x>0是真命题． 答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数 解析： ∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )． ∴f (x )是偶函数又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R ) ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． ∴A 对，B 、C 、D 错．故选A. 答案： A 3．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中的真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析： 对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平面直角坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x图象的上方，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2D ．－2<a <2解析： 依题意：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立， 即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，16－4 a ＋2 a －1 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a 2＋a －6≥0⇔a ≥2.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∃”或“∀”可表述为________． 答案： ∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析： 当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题；x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，∴命题q 为真命题， ∴“p 且q ”为真命题． 答案： 真三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假： (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |. (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0.解析： (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵a x>0(a >0且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是无理数，则x2是无理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表示)解析：(1)∃x∈R，x>2.(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．(3)∃x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是无理数，则x2是无理数．(如42)(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章1.4.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是( )A．不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( )A ．∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析： 由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根”．故选B.答案： B3．“∃x 0∉M ，p (x 0)”的否定是( ) A ．∀x ∈M ，綈p (x ) B ．∀x ∉M ，p (x ) C ．∀x ∉M ，綈p (x ) D ．∀x ∈M ，p (x )答案： C4．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析： 当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题． ∴p ∧q 为真，p ∧¬q 为假，¬p ∨q 为真，¬p ∨¬q 为假． 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析： ∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p 是假命题． 答案： 特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真6．(1)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． (2)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________． 答案： (1)∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3 (2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0 三、解答题(每小题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)所有正方形都是矩形；(2)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)∀a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a²c＝b²c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等比数列．解析：(1)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab，假；命题的否定：∃a，b∈R，若a＝b，则a2≠ab，假；(2)否命题：若a²c≠b²c，则a≠b.真；命题的否定：∃a，b，c，若a²c＝b²c，则a≠b，真；(3)否命题：若b2≠ac，则a，b，c不是等比数列，真．命题的否定：∃a，b，c∈R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．1章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x 2－4x ＋4＝0.其中是命题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： 只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x ，不能判断真假． 答案： B2．与命题：“若a ∈P ，则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈P D ．若b ∈P ，则a ∉P答案： D3．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∉∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题D ．非q 为假命题 解析： ∵p 、q 都是真命题，∴綈q 为假命题． 答案： D4．下列四个命题中真命题的个数为( )①若x ＝1，则x －1＝0；②“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题；③“等边三角形的三边相等”的逆命题；④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①是真命题；②逆否命题为“若b ≠0，则ab ≠0”，是假命题；③“等边三角形的三边相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若一个三角形为等边三角形，则这个三角形的三边相等”，其逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④“全等三角形的面积相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若两个三角形为全等三角形，则这两个三角形的面积相等”，其逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题．答案： C5．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析： 命题①是假命题，其逆命题为1a <1b，则a >b ，是假命题．故A 、C 错误．命题②是真命题，其逆命题为假命题，逆否命题为真命题．故选D.答案： D6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析： 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a .当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值． ∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，故选C. 答案： C7．“x <－1”是“x 2－1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： x 2－1>0⇒x >1或x <－1，故x <－1⇒x 2－1>0，但x 2－1>0⇒/ x <－1， ∴“x <－1”是“x 2－1>0”的充分而不必要条件． 答案： A8．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由a >0且b >0可得a ＋b >0，ab >0，由a ＋b >0有a ，b 至少一个为正，ab >0可得a 、b 同号， 两者同时成立，则必有a >0，b >0.故选C. 答案： C9．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1>0 C ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析： 由于已知命题是全称命题，其否定应为特称命题，并且对原命题的结论进行否定，由此可知B 正确．答案： B10．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4≤k ≤0 B ．－4≤k <0 C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0解析： 依题意，有k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0.解得－4<k ≤0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．“若x 2＝y 2，则x ＝－y ”的逆命题是________命题，否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析： 若x 2＝y 2，则x ＝－y 的逆命题为：若x ＝－y ，则x 2＝y 2，是真命题；否命题为：若x 2≠y 2，则x ≠－y ，是真命题．答案： 真 真12．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．解析： 由a ＋b ＝0得a ＝－b ，即a ∥b ，但a ∥b 不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案： 充分不必要 13．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)解析： ①中不等式x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔x ∈R . ∴对∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3成立．①是真命题．②中log 2x ＋log x 2≥2⇔ log 22x －2log 2x ＋1log 2x ≥0⇔log 2x >0或log 2x ＝1⇔x >1.∴②是真命题．③中⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c <0⇒c a >c b ，原命题为真命题，逆否命题为真命题，∴③是真命题． ④中p 为真命题，q 为真命题，命题p ∧綈q 是假命题．答案： ①②③14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析： 对∀x ∈R ，p (x )是真命题，就是不等式ax 2＋2x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立． (1)若a ＝0，不等式化为2x ＋1＞0，不能恒成立；(2)若⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1；(3)若a ＜0，不等式显然不能恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是a ＞1. 答案： a ＞1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出下列命题的“若p ，则q ”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形．解析： (1)“若p ，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题． 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题． 逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题． (2)“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题． 逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题． 否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题． 逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．16．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p ：3是质数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解． 解析： (1)p 或q ：3是质数或3是偶数；p 且q ：3是质数且3是偶数；非p ：3不是质数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题． (2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题． 17．(本小题满分12分)是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．解析： 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4， 当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2>0的充分条件．18．(本小题满分14分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解析： ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2由不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0－a 2－4a ＜0解得0≤a ＜4 ∴q ：0≤a ＜4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真． ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜2，0≤a ＜4.∴a ≤－1或a ≥4或0≤a ＜2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．第2章2.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1,5)D ．(4,4)解析： 代入每个点逐一验证，D 正确． 答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的图象经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0,4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4,0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的( )解析： y ＝|x |x2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x >0时，y ＝1x>0；当x <0时，y ＝－1x>0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 解析： 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α＜2π， 所以α＝π3或α＝53π.答案：π3或5π36．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点有______个． 解析： 利用数形结合的思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3. (2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2. (3)方程(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．解析： (1)不对，过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为y ＝3，而不是|y |＝3.(2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解， 则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (3)不对．由(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0所以表示的是圆和两条射线． (4)不对．把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0， 则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上． 把点B (－32，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但 ∵横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．8．已知曲线C 的方程为x ＝9－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解析： 由x ＝9－y 2，得x 2＋y 2＝9.又x ≥0，∴方程x ＝9－y 2表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π²9＝92π.所以所求图形的面积为92π.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)．求m ，n 的值． 解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1 2＋n ＝1， m ＋1 2＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝－1.∴m ＝－1，n ＝1为所求．第2章2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析： 设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x － －1 ＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．答案： B2．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析： 由|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →，得4³[x － －2 ]2＋ y －0 2＋(4,0)²(x －2，y －0)＝0， ∴y 2＝－8x . 答案： A3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析： 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |得 x ＋2 2＋y 2＝2 x －1 2＋y 2， 整理得x 2－4x ＋y 2＝0 即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 故S ＝4π. 答案： B4．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →²M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析： 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，M B →＝(1－x ，－y )．由MA →²M B →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0， 即x 2＋y 2＝1.故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析： 设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.①设线段AB 中点为M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 0－12，即x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入①式，得 2y ＋1＝2²(2x )2＋1.即y ＝4x 2为线段AB 中点的轨迹方程． 答案： y ＝4x 26．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析： 设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧， 其半径等于1－x ，则|PC |＝1－x ＋1， 即 x ＋2 2＋y 2＝2－x ， 整理得y 2＝－8x . 答案： y 2＝－8x三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →²A B →＝1.求P 点的轨迹方程．解析： 由B P →＝2P A →，P (x ，y )可得B (0,3y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，∴A B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y .∵Q 与P 关于y 轴对称， ∴Q (－x ，y )，且OQ →＝(－x ，y )．由O Q →²A B →＝1得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．8．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ，过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线，交y 轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解析： 如图所示，设过P 2的直线方程为y －7＝k (x －2)(k ≠0)，则过P 1的直线方程为y －5＝－1k(x －1)，所以A (5k ＋1,0)，B (0，－2k ＋7)．① 设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143，②消去k ，整理得12x ＋15y －74＝0. 故点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0.③尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析： 方法一(直接法)：如图，因为Q 是OP 的中点， 所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．第2章2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8解析： 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0m ＋9＞0m ＋9＞25－m，解得8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是8＜m ＜25，故选B. 答案：B2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析： c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案： A3．已知(0，－4)是椭圆3kx 2＋ky 2＝1的一个焦点，则实数k 的值是( ) A ．6 B.16 C ．24D.124解析： ∵3kx 2＋ky 2＝1， ∴x 213k ＋y 21k＝1. 又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a 2＝1k ，b 2＝13k ，c 2＝a 2－b 2＝1k －13k ＝23k ＝16，∴k ＝124.答案： D4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→²PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析： ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64 ①|PF 1|＋|PF 2|＝10 ②②2－①，得2|PF 1|²|PF 2|＝102－64， ∴|PF 1|²|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为9. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析： 由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2， 则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27. 由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝42＋22－ 27 22³4³2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°. 答案： 2 120°6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP→的最大值为________．解析： 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， 则x 24＋y 23＝1， OP →²FP →＝(x ，y )²(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2 ＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →²FP →有最大值6. 答案： 6三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)，。