3 期权定价理论的近期发展
布莱克—斯科尔斯模型的推导建立在 6 个假设基础上: (1) 期权的基础资产为一有风险的资产, 可以被 自由地买进和卖出, 没有交易成本和税收; (2) 无风险收益率是常量; (3) 在期权到期日前, 基础资产无任何 收益 (如股息、利息等) 支出; (4) 基础资产价格的变动符合几何布朗运动; (5) 交易市场是连续开放的; (6) 期 权是欧式期权。 这 6 个假设条件使布莱克—斯科尔斯模型建立在与真实市场相差较大的“理想市场”基础上, 近 20 多年来, 经济学家们试图在“放松”这些假设条件情况下, 寻求更贴近实际市场的期权定价模型, 取得了 许多优秀成果, 极大地丰富和发展了期权定价理论。
【关键词】 期权定价, 模型研究, 演进发展
期权思想萌芽至少可追溯到公元前 1800 年的《汉穆拉比法典》, 而期权交易在公元前 1200 年的古希腊和 古腓尼基国的贸易中也已经出现, 但期权的快速发展到本世纪 50 年代以后才开始, 真正标准化的场内期权交 易还只有不到 30 年历史。
由于期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能, 且表现出灵活性和多样性特点, 故近 20 年 来, 特别是九十年代以来, 期权成为最有活力的衍生金融产品, 得到了迅速发展和广泛的应用。 期权市场的快 速发展得益于期权理论的不断深化。 期权理论研究的重点在于两个方向: 一个方向是如何构造出新的期权, 以满足不断变化的市场投资需要; 另一个方向是如何确定这些日趋复杂期权的价值。
第 18 卷第 6 期 (总第 102 期) 系 统 工 程 2000 年 11 月
期权定价理论的产生与发展α
罗开位 侯振挺 李致中
【提 要】 期权理论研究的重点在于两个方向: 一个方向是如何构造出新的期权, 以 满足不断变化的市场投资需要; 另一个方向是如何确定日趋复杂的期权 的价值。 在期权定价研究方面, 80 年代以前的研究一般都假定期权所依 赖的基础资产的价格为一连续随机过程, 市场也是“完善”的, 在这些比较 理想化假设条件下, 经济学家们获得了许多重要的期权定价模型, 特别是 布莱克—斯科尔斯模型。 近十多年来, 得益于计算机技术的快速发展, 期 权定价理论研究在以下两个方面得到很大发展, 取得了大量研究成果: 一 是研究在不完善市场条件下如何确定期权价值问题; 二是研究期权所依 赖的基础资产价格不是一连续随机过程, 而是服从跳2扩散过程的定价问 题。
布 莱克 — 斯科尔斯模型中因缺少预期收益率或风险厌恶的测度一度受到怀疑。这一难题被考克斯和罗
斯 (1976 年) 及默顿 (1976 年) 所解释, 他们引入风险中性或鞅表示。后来, 由哈里森和克雷普斯 (H arrison,
3பைடு நூலகம்
K rep s, 1979 年) 以及其他人更正式地发展了这一思想。[3]
同时步幅 h - 1 和 k - 1 趋于 0 时的极限。
将这些极限代入 (8) 式便得出了布莱克 — 斯科尔斯的偏微分方程:
1 2
Φ2S 2CS S
+
ΧS CS -
ΧC + C t = 0
(10)
其中, Χ是无风险资产的连续复合 (年) 利率, ∆2 是单位时间股票价格对数变化的方差, C 的下标表示偏微分。把
是相等的, 即:
N = C (hS , n -
1) - C (kS , n (h - k)S
1)
(6)
那么, 一个时间段后, 资产组合的价值是:
kC (hS , n - 1) - hC (kS , n - 1) (h - k)
(7)
为避免套利机会, 资产组合的现值应等于以 (1 + R ) 贴现的值。R 是股票价格只作一次变动的时间段内的
的时间价值为正, 期权和股票间的不同风险特征, 以及风险厌恶特征, 以及风险厌恶程度。虽然有此不足, 实际
上该公式对预测短期看涨期权的价格非常适用。但在长期期权价格的判断中, 因要求期权价格与期限的平方
根成比例增加而失效。
在 其后的半个多世纪里, 期权定价理论上的多数发展集中于特定的经济计量模型。其中典型的例子是卡
益率 Β。他还认识到这一假说意味着到期日之前执行看涨期权是最适合的, 除永久性看涨期权外, 它不能解决
最优执行政策问题。他的欧式看涨期权的模型是:
C = e (Α- Β) ΣS
ln (S X ) + (Α+ <
1 2
Ρ2)
Σ
-
e- ΒΣX
ln (S X ) + (Α<
1 2
Ρ2)
Σ
(5)
ΡΣ 前面的博内斯方程是这一方程在 Α= Β 的特例。
在期权定价研究方面, 80 年代以前的研究一般都假定期权所依赖的基础资产的价格为一连续随机过程, 市场也是“完善”的, 在这些比较理想化假设条件下, 指导出各种期权的定价模型。 近十多年来, 得益于计算机 技术的快速发展, 期权定价理论研究在以下两个方面得到深化, 取得了大量研究成果: 一是研究在不完善市场 条件下如何确定期权价格问题; 二是认为期权所依赖的基础资产的价格是一连续随机过程假设条件过于理 想化, 将这个假设条件改进为基础资产的价格服从“跳2扩散过程”, 研究期权的定价问题。
期收益率而不是无风险收益率。假如博内斯将投资者不在乎风险的假设代以逻辑结论 Α= Χ, 他将推导出布莱
克 — 斯科尔斯方程, 当然, 他的推导仍需建立在风险中性的假设基础上。
萨缪尔森 (Sam uelson, 1965 年) 认识到, 由于不同的风险特性, 期权和股票的预期收益率一般来说是不同
的。虽然他认识到更高深的理论将推导出预期收益率的值, 但他还是断定有一个更高的 (不变的) 期权预期收
α 收稿日期: 2000- 08- 18。罗开位: 深圳招商银行总行研究部, 518001; 侯振挺、李致中: 均系长沙铁道学院科研所教 授。 410075
1
C = S <( S - X ) - X <( S - X ) + ∆ Σ Υ( S - X )
(1)
∆Σ
∆Σ
∆Σ
这里 <( ) 和 Υ( ) 是标准积分正态函数和正态密度函数。为与股票的零预期价格变化假设一致, 他没有为
得到现值而贴现预期值。这一模型在 50 多年后被克鲁辛格 (K ru izenga, 1956 年) 再次发现。
以现在的标准来看, 这一模型也许还是领先的。它只在两个方面稍有缺陷: 一是绝对布朗运动的应用允许
股票价格为负, 这是一个与有限债务假设相悖的条件; 另一个是平均预期价格变化为零的假设, 它忽视了资金
中的原则。
假设在一个时间段内, 股票价格只能以两种形式中的一种形式变化。从现有水平 S , 股票价格能上升到
hS 或下降到 kS 。用 C (S , n) 表示股票价格为 S 并且期权到期之前有 n“步”价格变化的股票看涨期权价值。
考虑一份短期看涨期权和N 份长期股票的资产组合。这种资产组合的现值为N S - C (S , n)。经过一个时 间段, 这种资产组合的价值为 N hS - C (hS , n - 1) 或N kS - C (kS , n - 1)。假设N 被选定, 则最后的两个量
1 B lack2Scho les 以前的期权定价理论研究
期权定价理论并非始于 B lack2Scho les 模型。在此之前, 许多经济学家就曾经研究过这一问题。虽然某些 尝试被现代标准所取代, 但没有早期的工作决不可能有后来的发展。
最早的期权定价模型的提出者可能要数路易 巴舍利耶 (L ou is B aChelier, 1900 年)。1900 年, 为测定股票 价格波动, 他涉猎了布朗 (B row n) 运动数学理论的某些方面。假设一个没有漂移和每单位时间具有方差 ∆2 的 股票价格过程是绝对的布朗运动, 他确定到期日看涨期权的预期价值是:
(9)
其中, q ≡ (1 + R - k ) (h - k ) 且 i 是满足 S h ikn- i Ε X 的最小整数。
布莱克和斯科尔斯在模型推导过程中, 没有假定股票价格遵循二项步进 (b inom ial step ) 过程, 他们用的
是几何或对数布朗运动过程[1]。几何布朗运动可被构造这类二项过程的极限, 即当单位时间内步数趋于无穷,
这些极限代入 (9) 式便得出布莱克 — 斯科尔斯看涨期权定价公式:
C= S
ln (S X ) + (Χ+ <
1 2
Ρ2)
Σ
-
e- ΧΣX
ln (S X ) + (Χ<
1 2
Ρ2)
Σ
(11)
ΡΣ
ΡΣ
其中, <( ) 是标准积分正态分布函数, 且 Σ= T - t 是距到期的时间差 (布莱克和斯科尔斯直接以连续时间扩
果。
2
2 布莱克 — 斯科尔斯期权定价模型
布莱克 — 斯科尔斯期权定价模型建立在市场上不存在套利机会的原则基础上。考克斯、罗斯和鲁宾斯坦
(Cox, J. C. , Ro ss, S. A. , R ub in stein,M. , 1979) [2] 的下列简单模型能用来表述隐含在布莱克 — 斯科尔斯模型
ΡΣ
萨缪尔森和默顿 (M erton, R. C. 1969 年) 用一种资产组合选择的简单均衡模型检验了期权定价理论, 这
种模型允许内生地确定股票和期权的预期收益率。他们证明了期权问题可以用函数形式中的“公共概率”项
来表述, 这种函数形式与用真实概率所表述的问题一样。以这种方式表示时, 调整过的股票预期收益率和期权 预 期收益率是一样的。这一方法使用了现在被认为是理所当然的估价期权的风险中性或偏好自由的发展成
散来推导这一微分方程和它的解, 而不是采用极限)。
布莱克 2斯科尔斯公式与萨缪尔森公式在 Α= Β = Χ及博内斯公式在 Α= Χ完全相同。实际上, 模型最显