第五章静电场5－9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为E1πε04rQ22L(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为E1Q22πε0r4r 2L若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq＝Qdx/L，它在点P的电场强度为d E14πεdq2rer整个带电体在点P的电场强度E d E接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，E dE iL(2)若点P在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是E dE y j sinαdE jL证(1)延长线上一点P 的电场强度Edq L2πεr 02，利用几何关系r ′＝r －x 统一积分变量，则1QdxQ111QL/2EP 电场强度的方向222-L/240LrxLrL /2rL /2π4rL πεπεε400沿x 轴.(2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为ELs indq α dE 24r πε 0利用几何关系sin α＝r/r ′，2x 2rr 统一积分变量，则 EL/ -L/2 2 1 rQdx Q2/3 2422rπxr π εεr 0L41 22 L当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度Elim l 1 2 πr ε 01 Q / 4r L2 / 2L λ 2πεr此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r2/L 2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5－14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面 的电场强度通量.分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即s Ed SΦS 方法2：作半径为R的平面S′与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理E S d S1εq 0这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而ΦE d SE d SSS解1由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有ΦE d SE d SSS依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，ΦEππ2cosπ22cosπ2RRE解2取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①E Ecos e sincos e sinsin eθθθr2d S Rsindd eθθrΦES d SS2ERsin2θsin dθdππ22ERsindsinθθ00d2πRE5－17设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为ρkr0rRρ0rRk为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.分析通常有两种处理方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有ES d S Er4π21根据高斯定理E d SρdV，可解得电场强度的分布.ε(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球2，每个带电球壳在壳内激发的电场d E0，而在球壳壳，球壳带电荷为dqρ4πrdr外激发的电场d Edq4rπε2 er由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布E r rd E0 r RE r Rd E r R解1因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理1E d S得球体内(0≤r≤R)ρdVεEr21πk2r4πrkr4rdrrπε0ε004 E2krr er4ε球体外(r＞R)Er21πk2R4πrdrrkr4πrεε004 E2kRr er4ε解2将带电球分割成球壳，球壳带电2dρrqdVkr4πrd由上述分析，球体内(0≤r≤R)E221k r4rdrkrπrr ee2rr0π0r44εε球体外(r＞R)E22Rπ1kr4rdrkR1kr4rdrkRr eerr22040r4εrπε5－20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析.分析以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而2E d S E4πr.在确定高斯面内的电荷q后，利用高斯定理E d S q/ε0即可求出电场强度的分布.解取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析E 2/4rqεπr＜R1，该高斯面内无电荷，q0，故E10R1＜r＜R2，高斯面内电荷q3Qr13R23R13R1故 E233QrR11334εRRrπ0212R2＜r＜R3，高斯面内电荷为Q1，故E 3Q14εrπ2r＞R3，高斯面内电荷为Q1＋Q2，故E 4 QQ 2 214εrπ电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r＝R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量ΔE E4 E3Q224πεR03σε这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变.5－21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2＞R1)，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处的电场强度：(1)r＜R1，(2)R1＜r＜R2，(3)r＞R2.分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且E d S E2πrL，求出不同半径高斯面内的电荷q.即可解得各区域电场的分布.解作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理E 2rLq/επr＜R1，q0E1在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变R1＜r＜R2，qλLE 2λ2πεr，q0r＞R2E3在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变Δ Eλλ L202π πεε202πrrLσ ε 0这与5－20题分析讨论的结果一致.5－22如图所示，有三个点电荷Q 1、Q 2、Q 3沿一条直线等间距分布且Q 1＝Q 3＝Q.已知其 中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1、Q 3的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力 所作的功.分析由库仑力的定义，根据Q 1、Q 3所受合力为零可求得Q 2.外力作功W ′应等于电场力作功 W 的负值，即W ′＝－W.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为WQ 2E d l 其中E 是点电荷Q 1、Q 3产生的合电场强度. (2)根据电场力作功与电势能差的关系，有WQ 2VVQV020其中V 0是Q 1、Q 3在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1由题意Q 1所受的合力为零Q 1 Q 2 4d πε 0 2 Q 1 Q 3 42d πε 02 0 11解得QQQ2344由点电荷电场的叠加，Q 1、Q 3激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为EE 1y E 3 yQy 222εdy π 03/2将Q 2从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作 的功为W2Q1QyQ E d l Qdy023/8π042d222ε1解2与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时QQ2，并由电势4 的叠加得Q1、Q3在点O的电势V 0Q14dπεQ34dπεQ2dπε将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功W Q V202 Q8dπε比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.5－23已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为Eλ2rπεer为电荷线密度.(1)求在r＝r1和r＝r2两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r→∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明.解(1)由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有λrr22U12E d r lnr12rπε01(2)不能.严格地讲，电场强度 Eλ2rπε0 er只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r→∞处的电势应与直线上的电势相等.5－27两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2.求：(1)各区域电势分布，并画出分布曲线；(2)两球面间的电势差为多少？分析通常可采用两种方法(1)由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由V E d l可求得电势分布.(2)利用电势叠加原理求电势.pp一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为VQ 4rπε在球面内电场强度为零，电势于球面的电势VQ4Rπε其中R是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1(1)由高斯定理可求得电场分布E1 0r R1E 2Q14rπε2 erR1r R2E 3 QQ1224πεrerr R2由电势V E d l可求得各区域的电势分布.r当r≤R1时，有V 1 R1rE1d lR2R1E2 d lR2E3d lQ14πε1R11R2QQ124Rπε02Q 1 Q24Rπε01 4Rπε02当R1≤r≤R2时，有V 2 R2rE d l2 R 2E 3 d lQ 1 11 Q1Q24επ0 r R24πεR02Q 1 Q24rπε0 4Rπε02当r≥R2时，有QQ12V E d l34π3rrε0 (2)两个球面间的电势差U12Q11R21E d l2R14πεRR012解2(1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r≤R1，则QQ12V14π4πεRεR0102若该点位于两个球面之间，即R1≤r≤R2，则QQ12V24π4πεRεr002 若该点位于两个球面之外，即r≥R2，则V 3 QQ 12 4επr(2)两个球面间的电势差QQ11UVVrR124π4π122εεRR0102第六章静电场中的导体与电介质6－1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（）（A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。