AB 的半径分别为 r 0.2m ， R 0.4m ，BC 为一段长为 L 2.0m 的粗糙水平桌面，小弹 珠与桌面间的动摩擦因数为 0.4 ，放在水平地面的矩形垫子 DEFG 的 DE 边与 BC 垂 直，C 点离垫子的高度为 h 0.8m ，C 点离 DE 的水平距离为 x 0.6m ，垫子的长度 EF 为 1m， g 10m / s2. 求：
（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度 v0 至少为多少？ （2）若 v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力 FC=2N，则小球 在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？ （3）若 v0=3.1m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点 A 时受到的支持力为多少？小 球在整个运动过程中减少的机械能是多少？（保留三位有效数字）
设在 B 点物块受到的支持力为 N，由牛顿第二定律有：
滑块对圆弧管道的压力，由牛顿第三定律有：
联立以上方程，解得： =106N，方向向下；
(3) 滑块从 A 到 B 的过程中因摩擦产生的热量：
12J
滑块从 B 到 C 的过程中，由能量守恒定律有： 又： 综上解得：Q=38J。 点睛：本题是一道力学综合题，分析清楚滑块运动过程是解题的前提与关键，应用牛顿第 二定律、动能定理与能量守恒定律即可解题。
（3）WA 0
，WA 始终处于平衡状态，所以对 A 有
F cos m1g
得 F 25N
（2）设 B 质量为 m2 、速度为 v 、做圆周运动的半径为 r ，对 B 有
F
sin
m2
v2 r
r Lsin
EkB
1 2
m2v2
得
EkB
m1gL sin2 2 cos
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）A 碰 C 前与平板车速度达到相等，设整个过程 A 的位移是 x，由动量守恒定
律得
由动能定理得：
解得
满足的条件是 （2）物块 A 与小球 C 发生碰撞，碰撞时两者的速度互换， C 以速度 v 开始做完整的圆周 运动，由机械能守恒定律得
小球经过最高点时，有
解得 【名师点睛】 A 碰 C 前与平板车速度达到相等，由动量守恒定律列出等式；A 减速的最大距离为 d，由动 能定理列出等式，联立求解。A 碰 C 后交换速度，C 开始做完整的圆周运动，由机械能守恒 定律和 C 通过最高点时的最小向心力为 mg，联立求解。
速度大小不变，小球冲出 C 点后经过 9 s 再次回到 C 点。（g＝10m/s2）求： 8
（1）小球从 O 点的正上方某处 A 点水平抛出的初速度 v0 为多大？ （2）小球第一次过 C 点时轨道对小球的支持力大小为多少？ （3）若将 BC 段换成光滑细圆管，其他不变，仍将小球从 A 点以 v0 水平抛出，且从小球进 入圆管开始对小球施加了一竖直向上大小为 5N 的恒力，试判断小球在 BC 段的运动是否为 匀速圆周运动，若是匀速圆周运动，求出小球对细管作用力大小；若不是匀速圆周运动则
7．如图所示，一质量为 m 的小球 C 用轻绳悬挂在 O 点，小球下方有一质量为 2m 的平板 车 B 静止在光滑水平地面上，小球的位置比车板略高，一质量为 m 的物块 A 以大小为 v0 的初速度向左滑上平板车，此时 A、C 间的距离为 d，一段时间后，物块 A 与小球 C 发生碰 撞，碰撞时两者的速度互换，且碰撞时间极短，已知物块与平板车间的动摩擦因数为 μ ， 重力加速度为 g，若 A 碰 C 之前物块与平板车已达共同速度，求： （1）A、C 间的距离 d 与 v0 之间满足的关系式； （2）要使碰后小球 C 能绕 O 点做完整的圆周运动，轻绳的长度 l 应满足什么条件？
【解析】 【分析】
【详解】
（1）当小球刚好通过最高点时应有： mg mvD2 R
由机械能守恒可得： mg h R mvD2
2
联立解得 h 3 R ，因为 h 的取值范围为 3 R h 3R ，小球能到达 D 点；
2
2
（2）设小球在 D 点受到的压力为 F ，则
F mg mvD2 R
联立解得 xmin 2R R ，故能落在水平面 BC 上，
当小球在最高点对轨道的压力为 3mg
时，有：
mg
3mg
m
v2 D max
R
解得 vDmax 2 gR 小球飞离 D 后平抛 R 1 gt2 ，
2 xmax vDmaxt
联立解得 xmax 2 2R
故落点与 B 点水平距离 d 的范围为： 2 1 R d 2 2 1 R
得 WB
61 12
J
6．如图甲所示，长为 4m 的水平轨道 AB 与半径为 R=1m 的竖直半圆弧管道 BC 在 B 处平滑 连接，一质量为 1kg 可看作质点的滑块静止于 A 点，某时刻开始受水平向右的力 F 作用开 始运动，从 B 点进入管道做圆周运动，在 C 点脱离管道 BC，经 0.2s 又恰好垂直与倾角为 45°的斜面相碰。已知 F 的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与 AB 间的动摩擦因数 为 μ=0.3，取 g=10m/s2。求：
（1）当轻绳与 OM 的夹角 θ=37°时，求轻绳上张力 F。
（2）当轻绳与 OM 的夹角 θ=37°时，求物块 B 的动能 EkB。 （3）若缓慢增大直角杆转速，使轻绳与 OM 的夹角 θ 由 37°缓慢增加到 53°，求这个过程
中直角杆对 A 和 B 做的功 WA、WB。
【答案】（1） F 25N （2） EkB 2.25J
（1）求空中水的体积 V； （2）假如我们只研究其中一个质量为 m 的水滴，不计水滴间的相互影响，求它从喷嘴水 平喷出后在空中运动过程中的动量变化量△p； （3）假如水击打在水平地面上速度立即变为零，求水击打地面时竖直向下的平均作用力大 小 F。
【答案】（1）10hs （2） m 2gh （3）10ρhSg
则由牛顿第三定律可得对地面的力为 10ρhSg。
5．如图所示，竖直平面内有一光滑的直角细杆 MON，其中 ON 水平，OM 竖直，两个小物 块 A 和 B 分别套在 OM 和 ON 杆上，连接 AB 的轻绳长为 L=0.5m，．现将直角杆 MON 绕过 OM 的轴 O1O2 缓慢地转动起来．已知 A 的质量为 m1=2kg，重力加速度 g 取 10m/s2。
（1）滑块在 C 点的速度大小； （2）滑块经过 B 点时对管道的压力； （3）滑块从 A 到 C 的过程中因摩擦而产生的热量。 【答案】(1) 2m/s(2) 106N，方向向下(3) 38J
【解析】(1)滑块从 C 离开后做平抛运动，由题意知： 又： 解得： vC=2m/s
(2)滑块从 A 到 B 的过程中，由动能定理得：
重力加速度为 g ）．
（1）小球能否到达 D 点？试通过计算说明；
（2）求小球在最高点对轨道的压力范围；
（3）通过计算说明小球从 D 点飞出后能否落在水平面 BC 上，若能，求落点与 B 点水平 距离 d 的范围． 【答案】（1）小球能到达 D 点；（2） 0 F 3mg ；（3）
2 1 R d 2 2 1 R
【答案】（1） v0 = 10m/s （2）0.1J（3）6N；0.56J
【解析】
【详解】
（1）在最高点重力恰好充当向心力
从到机械能守恒
mg mvC2 R
2mgR
1 2
mv02
-
1 2
mvC2
解得
（2）最高点 从 A 到 C 用动能定理
得Wf =0.1J
v0 10m/s
mg - FC
mvC'2 R
mg h R mvD2
2
联立并结合 h 的取值范围 3 R h 3R 解得： 0 F 3mg 2
据牛顿第三定律得小球在最高点对轨道的压力范围为： 0 F 3mg
（3）由（1）知在最高点 D 速度至少为 vDmin gR 此时小球飞离 D 后平抛，有： R 1 gt2
2
xmin vD mint
3．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆 ABCD 光滑，内圆的 上半部分 B′C′D′粗糙，下半部分 B′A′D′光滑．一质量 m=0.2kg 的小球从轨道的最低点 A 处以 初速度 v0 向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径 R=0.2m，取 g=10m/s2．
2 m/s2
小球沿斜面向下滑动的加速度：
a2 mgsin45 mgcos45 gsin45°﹣μgcos45°＝2 2 m/s2 m
设小球沿斜面向上和向下滑动的时间分别为 t1、t2，
由位移关系得：
1 2
a1t12
1 2
a2t22
又因为：t1+t2 9 s 8
解得：t1 3 s，t2 3 s
说明理由。
【答案】（1）2m/s（2）20.9N（3）5 2 N
【解析】
【详解】
（1）小球从 A 运动到 B 为平抛运动，有：rsin45°＝v0t
在
B
点有：tan45°
gt v0
解以上两式得：v0＝2m/s
（2）由牛顿第二定律得：
小球沿斜面向上滑动的加速度：
a1 mgsin45 mgcos45 gsin45°+μgcos45°＝8 m
8．三维弹球 3DPinball 是 Window 里面附带的一款使用键盘操作的电脑游戏，小王同学
受此启发，在学校组织的趣味运动会上，为大家提供了一个类似的弹珠游戏．如图所示，
将一质量为 m 0.1kg 的小弹珠 ( 可视为质点 ) 放在 O 点，用弹簧装置将其弹出，使其沿
着光滑的半圆形轨道 OA 和 AB 进入水平桌面 BC，从 C 点水平抛出．已知半圆型轨道 OA 和
mvA2
FA
-
mg
mvA2 R
得 FA =6N