12章代数系统习题补充1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。

⑴A=⎨1,2⎬。

⑵B=⎨b|b是素数⎬。

⑶C=⎨c|c是偶数⎬。

⑷D=⎨2n| n∈N⎬。

解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。

⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。

⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。

(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。

2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和 是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab −b，运算 定义为a b=max(a, b)，试写出*和 的运算表。

解：*和 的运算表如表6.12和表6.13所示。

表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。

试写出＋7和×7的运算表。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。

表6.154.设代数系统<A,∗>，其中A=⎨a,b,c⎬，∗是A上的二元运算，分别由下列表给出。

试分别讨论交换性、幂等性、单位元和逆元。

解：*的交换性、幂等性、单位元和逆元如表6.16所示。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢35.写出代数系统<N7,＋7>的幺元和零元，各元素的逆元。

解：代数系统<N7,＋7>的运算表如表6.14所示。

由表知幺元为0，无零元，0逆元是0，1和6，2和5，3和4互为逆元。

6.写出代数系统<N7,×7>的幺元和零元，各元素的逆元。

解：代数系统<N7,×7>的运算表如表6.15所示，由表知幺元为1，零元为0，0无逆元，1的逆元为1，6的逆元为6，2和4，3和5互为逆元。

7.设<A,∗>是代数系统，A是有限集，那么⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表有何特征?⑵当运算∗是可交换运算时，其运算表有何特征?解：代数系统<A,∗>，A是有限集。

⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表中各元素的运算结果都是集合A 中的元素。

⑵当运算∗是可交换运算时，运算表关于主对角线是对称的。

8.设A=⎨1,3,5,7,9⎬，∗是A上的二元运算，其定义分别为：⑴a∗b=min(a,b)⑵a∗b=a⑶a∗b=ab+a仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4问：哪些运算满足幂等律？解：⑴满足幂等律。

因为∀a∈A, a∗a= min(a,a)=a。

⑵满足幂等律。

因为∀a∈A, a∗a=a。

⑶不满足幂等律。

因为1∗1＝1×1＋1＝2≠19.写出<N10,×10>的所有幂等元。

解：因为0×100=0，1×101=1，5×105=5，6×106=6，所以，0,1,5,6为幂等元。

10.设A=⎨1,2,3,4⎬，A上的二元运算∗定义为取最大值运算，即∀a,b∈A，有a∗b=max(a,b)零元和各元素的逆元。

解：作∗运算表如表6.17所示，由表知，幺元为1，零元为4，1的逆元为1，其余元素无逆元。

(a∗b)∗c= max(max(a,b),c)a∗(b∗c)= max(a,max(b,c))以上两式都是取a，b，c三者中得最大者，所以①a≥b≥c 和a≥c≥b时，(a∗b)∗c=a＝a∗(b∗c)②b≥a≥c 和b≥c≥a时，(a∗b)∗c=b＝a∗(b∗c)③c≥a≥b和c≥b≥a时，(a∗b)∗c=c＝a∗(b∗c)即∀a,b,c∈A，(a∗b)∗c=a∗(b∗c)，∗运算满足结合律。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢511.设<Z,∗>是代数系统，∗的定义分别为：⑴a∗b=|a+b|，⑵a∗b=a b，⑶a∗b=a+b−1，⑷a∗b=a+2b，⑸a∗b=2ab。

问：哪些运算在Z上是封闭的？哪些运算是可交换的？哪些运算是可结合的？解：Z为整数集合，⑴因为①整数加法运算在Z上封闭，绝对值运算在Z上也封闭。

②∀a,b∈Z，a∗b=|a+b|=|b+a|=b∗a③当a＝1，b＝2，c＝-3时，(a∗b)∗c=||a+b|+c|=0，a∗(b∗c)=|a+|b+c||=2，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。

所以，∗运算在Z上封闭，可交换，但不可结合。

⑵因为①当b＜0时，a∗b= a b不一定是整数，例如a＝2，b＝-1，a∗b=2-1∉Z，②∀a,b∈Z，a∗b=a b，b∗a=b a，a∗b不一定等于b∗a，例如a＝2，b＝1时，a∗b=a b=2，b∗a=b a=1。

a∗b≠b∗a。

③当a=2，b=1，c=2，(a∗b)∗c=(a b)∗c=(21)∗2=22=4，a∗(b∗c)=a∗(b c)=2∗(12)=2，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。

所以∗运算在Z上不封闭，不可交换，不可结合。

⑶因为①整数加法和减法运算在Z上封闭，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6②∀a,b∈Z，a∗b=a＋b-1= b＋a-1= b∗a③∀a,b,c∈Z，(a∗b)∗c=(a＋b-1)＋c-1=a＋b＋c-2=a＋(b＋c-1)-1。

所以，∗运算在Z上封闭，可交换，可结合。

⑷因为①整数加法和乘法运算在Z上封闭。

②∀a,b∈Z，a∗b=a＋2b，b∗a=b＋2a。

a∗b不一定等于b∗a，如a＝1，b ＝2时。

a∗b=a＋2b=5，b∗a=b＋2a=4，a∗b≠b∗a。

③∀a,b,c∈Z，(a∗b)∗c=(a＋2b)＋2c，a∗(b∗c)=a＋2(b＋2c)=a＋2b＋4c，当a＝0，b＝0，c＝1时，(a∗b)∗c=2，a∗(b∗c)=4，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。

所以，∗运算在Z上封闭，不可交换，也不可结合。

⑸因为①整数乘法运算在Z上封闭，②∀a,b∈Z，a∗b=2ab=2ba=b∗a③∀a,b,c∈Z，(a∗b)∗c=2(2ab)∗c=4abc=2a×2bc=2a(b∗c)=a∗(b∗c)。

所以，∗运算在Z上封闭，可交换，也可结合。

12.在代数系统<Z,∗>中，Z是整数集合，运算∗定义为a∗b=a＋b＋ab，证明运算∗在Z上是封闭的，∗是可交换的和可结合的，并指出其幺元。

证明：①因为整数加法和乘法在整数集合Z上封闭，所以，∗运算在Z上是封闭的。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8②因为a ∗b=a ＋b ＋ab=b ＋a ＋ba=b ∗a ，所以，∗运算在Z 上是可交换的。

③因为a ∗0=a ＋0＋a ×0=a =0＋a ＋0×a=0∗a ，即0为∗运算的幺元。

13.写出<N 5,＋5>的幺元和各元素的逆元。

解：∀i ∈N 5，i ＋50=i ＋0=i =0＋i =0＋5i 即0为＋5的幺元。

当i ＋j =j ＋i =0时，i 与j 互为逆元，即1和4，2和3互为逆元，0的逆元为0。

14.写出<N 5,×5>的幺元和各元素的逆元(如果有逆元)。

解：∀i ∈N 5，i ×51=i =1×5 i ， 所以，1为×5的幺元。

2×53＝3×52＝1，4×54＝1，所以， 0无逆元，1和4的逆元为自身，2和3互为逆元。

15.请构造一个含幺元的代数系统，且除幺元外，其它元素都没有逆元。

解：令A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，∗的运算表如表6.18所示。

根据运算表，a 为幺元，a 的逆元为a ，b 和c 无逆元。

16. <N k ,＋k ,×k >是代数系统，证明×k 对于＋k 是可分配的。

解： 根据＋k 和×k 的定义，一方面，因为a ×(b ＋c －k )=a ×(b ＋c )－ak ，ak mod k = 0，所以a ×(b ＋c －k ) mod k = a ×(b+c ) mod k ，故a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋k c ) mod k =⎩⎨⎧≥+-+⨯<++⨯kc b k k c b a k c b k c b a mod )( mod )( =a×(b ＋c ) mod k另一方面，表6.18当a×b＜k时，a×k b也可以看成是a×b除以k，商为0的余数，则a×k b=a ×b mod k (a×b除以k的余数)，于是对于∀a,b,c∈N k, 可设a×b＝ek+m，a×c＝fk+n，e,f,m,n为自然数，0≤m,n＜k。

则a×k b =a×b mod k=m，a×k c= a×c mod k=n。

当m＋n＜k时，a×(b+c) mod k=(a×b mod k)+ (a×c mod k)= m＋n当m＋n≥k时，a×(b+c) mod k=(a×b mod k)+ (a×c mod k)－k = m＋n－k 将以上两式合并成一个式子：a×(b＋c) mod k=(a×b mod k)＋k (a×c mod k) a×k(b＋k c)= a×(b＋c) mod k=(a×b mod k)＋k (a×c mod k) =(a×k b)＋k (a×k c )所以×k对＋k满足左分配律。

因为＋k和×k在N k上可交换，所以有(b＋k c)×k a= a×k (b＋k c)=(a×k b)＋k (a×k c)＝(b×k a)＋k(c×k a)即×k对＋k满足右分配律。

所以，×k对＋k满足分配律。

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