a r 第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中是圆中到之间的一段劣弧；LI xds =⎰L 221x y +=(0,1)A B 解: 的参数方程为：AL AB =，于是cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤24cos I ππθ-=⎰．24cos (1d ππθθ-==+⎰（2），其中是顶点为及所成三角形的边界；(1)Lx y ds ++⎰A L (0,0),(1,0)O A (0,1)B 解: 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，L 则有(1)Lx y ds++⎰A ，(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰(1)BOx y ds +++⎰由于:，，于是OA 0y =01x ≤≤，ds dx ===y(0,1)B 故 ，103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰O A而,，于是:AB 1y x =-01x ≤≤．ds ===故，1(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知（），，则:BO 0x =01y ≤≤ds dy ===oB Ci nei ．13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰综上所述 ．33(1)322Lx yds -+=++=+⎰A （3），其中为圆周；⎰A L 22x y x +=解 直接化为定积分．的参数方程为1L ,（）,11cos 22x θ=+1sin 2y θ=02θπ≤≤且．12ds d θθ==于是．201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰A （4），其中为折线段，这里，2 Lx yzds ⎰L ABCD (0,0,0)A (0,0,2),B (1,0,2),C ；(1,2,3)D 解 如图所示， ．2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰线段的参数方程为 ，则AB 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤ds =，2dt ==故．02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB线段的参数方程为，则BC ,0,2(01)x t y z t ===≤≤ ,dsdt ==故，122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰线段的参数方程为，则CD 1,2,2x y t z t===+)10(≤≤tnt he ei n ，ds ==故11220012(2))CD x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以．2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++=⎰⎰⎰⎰2求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥密度。

1ρ=解 设曲线在坐标平面内的弧段分别为、、，曲线的重心坐标,,xOy yOz zOx 1L 2L 3L 为，则曲线的质量为．由对称性可得重心坐标(),x y z 1123233342L L L L M ds ds ππ++===⨯=⎰⎰A ()12312311L L L L L L x y z xds xds xds xdsMM++====++⎰⎰⎰⎰A ()131120L L L xds xds xdsM M=++=⎰⎰⎰．2243M M π===⎰故所求重心坐标为．444,,333πππ⎛⎫ ⎪⎝⎭习题10—21 设为面内一直线（为常数），证明L xOy y b =b 。

(,)0LQ x y dy =⎰证明：设是直线上从点到点的一段，其参数方程可视为L y b =1(,)a b 2(,)a b ，（），()y y x b ==12a x a ≤≤于是。

21(,)(,)00a La Q x y dy Q xb dx =⋅⋅=⎰⎰2 计算下列对坐标的曲线积分： （1），其中为抛物线上从点到点的一段弧。

Lxydx ⎰L 2y x =(1,1)A -(1,1)B 解 将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到L 2y x =y 2x y =y 1-。

因此1。

11224114()25Lxydx y y y dy y dy --'===⎰⎰⎰（2），其中是曲线从对应于时的点⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(L x y --=110=x 到时的点的一段弧；2=x 解的方程为，则有1L y x =(01)x ≤≤．322)()(1222221==-++⎰⎰dx x dy y x dx y x L 的方程为，则2L 2y x =-(12)x ≤≤dyy x dx y x L )()(22 222-++⎰222 1[(2)]x x dx =+-⎰ 222 1[(2)](1)x x dx +--⋅-⎰． 22 12 2(2)3x dx =-=⎰所以．34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x （3）是从点沿上半圆周到点的一段弧；,Lydx xdy +⎰L (,0)A a -222x y a +=(,0)B a 解利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处L cos ,sin x a y a θθ==(,0)A a -参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0．则π(,0)B a θπ=．0sin (cos )cos (sin )Lydx xdy a d a a d a πθθθθ+=+⎰⎰02cos 20a d πθθ=⎰（4），其中沿右半圆以点为起点，经过点22Lxy dy x ydx -⎰L 222x y a +=(0,)A a 到终点的路径；(,0)C a (0,)B a -解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点L cos ,sin x a y a θθ==处参数值取，在终点处参数值相应取，则(0,)A a 2π(0,)B a -2π-22Lxy dy x ydx -⎰2222cos (sin )(sin )(cos )sin (cos )a a d a a a d a ππθθθθθθ-=-⎰A 。

422222sin cos ad ππθθθ-=⎰44a π=-（5），其中为从点到点的直线段；3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰L (3,2,1)A (0,0,0)B AB 解 直线的方程为AB 321x y z ==化成参数方程得，，，从变到。

3x t =2y t =z t =t 10所以3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰2221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt=+-⎰A A A。

03187874t dt ==-⎰o(,0)A a -(,0)B a（6），为椭圆周且从轴()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-⎰A L 22 1 ,2 ,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩z 正方向看去，取顺时针方向。

L 解 的参数方程为L ，，，从变到，cos x t =sin y t =2cos sin z t t =-+t 2π0()()()LI z y dx x z dy x y dz=-+-+-⎰A 。

222(3cos sin 2sin 2cos )t t t t dt π=---⎰2π=- 习题10—31. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:(1) 星形线 ()；）33cos ,sin ,x a t y a t ⎧=⎨=⎩02t π≤≤解 12L A xdy ydx =-⎰A 32322014[cos 3sin cos sin 3cos (sin )]2a t a t t a t a t t dt π=⨯--⎰A。

242422222206[cos sin sin cos ]6cos sin at t t t dt at tdt ππ=+=⎰⎰238a π=(2) 圆，（）；222x y by +=0b >解 设圆的参数方程为,从变到.那么cos ,sin x b t y b b t ==+t 02π12L A xdy ydx =-⎰A 201[cos cos (sin )(sin )]2b t b t b b t b t dt π=⨯-+-⎰A。

2201(1sin )2b t dt π=⨯+⎰2b π=2 利用格林公式计算下列曲线积分:(1)，其中是圆，方向是逆时针()(3)Ly x dx x y dy -++⎰A L 9)4()1(22=-+-y x 方向；解 设闭曲线所围成闭区域为，这里L D ，，，，P y x =-3Q x y =+3Qx∂=∂1P y ∂=∂由格林公式，得()(3)Ly x dx x y dy -++⎰A (31)Ddxdy=-⎰⎰。

2Ddxdy=⎰⎰18π=(2) ，其中是依次连接三点的折线)Lydx x dy+-⎰L(1,0),A-(2,1),B(1,0)C段，方向是顺时针方向。

解令，，则，且线段，(,)P x y y=(,)Q x y x=-112Q Px y∂∂-=--=-∂∂:0CA y=由1变化到-1，故有x)Lydx x dy+-⎰)ABCAydx x dy=+⎰A)CAydx x dy-+-⎰．11(2)022D Ddxdy dx dxdy-=---⋅==⎰⎰⎰⎰⎰其中为所围成的闭区域．D ABCA(3) ，其中为常数，为圆(sin)(cos)x xLe y my dx e y m dy-+-⎰m L 上从点到点的一段有向弧；222x y ax+=(,0)A a(0,0)O解如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为O A，从变到。

:0OA y=x02a则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令OA L D，，sinxP e y my=-cosxQ e y m=-，，cosxQe yx∂=∂cosxPe y my∂=-∂由格林公式，得(sin)(cos)x xL OAe y my dx e y m dy+-+-⎰ADmdxdy=⎰⎰。

Dm dxdy=⎰⎰212m aπ=而(sin)(cos)x xOAe y my dx e y m dy-+-⎰20[(sin00)(cos0)0]a x xe m e m dx=-+-⎰A A，=故(sin)(cos)x xLe y my dx e y m dy-+-⎰(sin)(cos)x xL OAe y my dx e y m dy+=-+-⎰Ao0(0,0)(2,0)A a(sin )(cos )x x OAe y my dx e y m dy--+-⎰。

212m a π=0-212m a π=(4)，其中为椭圆，取逆时针方向；22L xdy ydx x y -+⎰A L 2241x y +=解 令，，则当时，(,)P x y =22y x y -+22(,)xQ x y x y =+(,)(0,0)x y ≠，22222()P Q y x y x x y ∂∂-==∂∂+但积分曲线所围区域包含点，在该点不L (0,0)(,),(,)P x y Q x y 具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点去掉，为此作半径足够小的圆:，(0,0)C 222x y δ+=使位于的内部，如图右所示．的参数方程为C L C ，，，cos x δθ=sin y δθ=[0,2]θπ∈取逆时针方向．于是C ，22L xdy ydx x y -+⎰A 22L C xdy ydxx y -+-=-+⎰A 22Cxdy ydxx y --+⎰A 其中表示的负方向．由格林公式则有C -C ，2200L C Dxdy ydxdxdy x y -+-=⋅=+⎰⎰⎰A 其中为与所围成的闭区域．故D L C 22L xdy ydx x y -+⎰A 22C xdy ydx x y --=-+⎰A 22C xdy ydx x y -=+⎰A 222220cos (sin )sin (cos )cos sin d d πδθδθδθδθδθδθ-=+⎰．202d πθπ==⎰(5)，其中，为圆周取逆时针方向，L u ds n∂∂⎰A 22(,)u x y x y =+L 226x y x +=是沿的外法线方向导数。