11.2电势
一、电势叠加原理
某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。
二、几种常见电场的电势
1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）
r
kQ =
ϕ
2、半径为R 的均匀带电薄球壳
壳外：r kQ =
ϕ 壳内：R
kQ
=ϕ
例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。
（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。
2
44kQ k R k R R R
σπϕπσ===
例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势
kQ R
ϕ=
例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。
如果让球
壳接地。
那么金属球的电势变为多少？
例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求
球上感应电荷的电量。
b
a
O
O
1
例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分
布规律.
（1）内球带q +，外球壳带Q +. （2）内球带q +，外球壳不带电.
（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.
（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.
【解析】如错误！未找到引用源。
所示，根据叠加原理:
(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此：
内球1123q q Q q
U k k k R R R +=-+
外球233
()()q q k Q q k Q q U k
k r r R R ++=-+= 上式中23R r R << 电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内23
()
q q k Q q U k k r R R +=-+内 (R 1<r<R 2) 壳外33
()()q q k Q q k Q q U k
k r r R R ++=-+=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此：
内球1123
q q q U k k k R R R =-+ 外球233
q q q q U k
k k k r r R R =-+= 上式中23R r R << 电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内23
q q kq
U k k r R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q q kq kq
U k
k r r r r
=-+=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112q q
U k k R R =-
电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内2
q q
U k k r R =-内 (R 1<r<R 2) 壳外0q q
U k
k r r
=-=外 （r ＞R 3） （4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:
123
''(')0q q k Q q k k R R R --++=
解得:12
122313
QR R q R R R R R R '=
+-
内球:10U =
外球:2223
'''q q Q q U k k k R R R -=-++ 21122313()
kQ R R R R R R R R -=
+-
21U =
腔内:23
'inside q q Q q U k k k r R R ''
-=-++
21122313(1)kQR R
R R R R R R r =-+- (R 1<r<R 2) 壳外:
3
'outside q q Q q U k k k r r R ''
-=-++
321122313()()kQR R R R R R R R R r -=+- （r ＞R 3）
例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知2
321R OO OO OO =
==．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r 的
P 1、P 2点处分别放置带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=． 1．求q 3的电势能．
2．将带有电量q 1、q 2的小导体释放，当重新达
到静电平衡时，
各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q 3的电势能为多少？
量为1q -、2q -1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电和3q -的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1
及感应电荷
（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．
当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．
O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电荷（3q -）共
同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k
321++， Q 在O 点产生的电势为R
Q
k 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 222223
21321 （1） 因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电势为
r
q k
U 3
-='' (2)
根据电势叠加定理，O 3点的电势为
⎪⎭⎫
⎝⎛-+++=''+'=r q R q q q Q k U U U 33212222
(3)
故q 3的电势能
⎪⎭⎫
⎝
⎛-+++==r q R q q q Q kq U q W 3321332222
(4)
2． 由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q 1仅受到腔内壁感应电荷1q -的静电力作用，因q 1不在空腔1的中心O 1点，所以感应电荷1q -在空腔表面分布不均匀，与q 1相距较近的区域电荷面密度较大，对q 1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q 1最后到达空腔1表面，与感应电荷1q -中和．同理，空腔2中q 2也将在空腔表面感应电荷2q -的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷2q -中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O 3的电势仍由球外的电荷Q 和导体球外表面的电量()321q q q ++及空腔3内壁的电荷
3q -共同产生，故O 3处的电势U 与q 3的电势能W 仍如(3)式与(4)式所示．
二、电像法
比较等量异种点电荷周围的电场和点电荷与接地导体板周围的电场。
*电像法的原理：原电荷和像电荷在导体平板处产生的电势刚好和原电场在平板处的电势相同。
则可以证明，由原电荷和像电荷产生的电场与原电场在原电荷一侧其他位置的电场也完全相同（*唯一性定理）。
因此可以用原电荷和像电荷产生的电场等效替代原来的复杂电场。
电像法的解题方法：找出与导体板表面对称的像电荷-q ，用q 、- q 的电场，代替q 与无限大导体板产生的电场。
注意：电像法只能求原电荷一侧的电场。
例7、两块互成直角的接地的薄金属板间有一距板面较近的电荷q ，q 距两板的距
离均为a ，求电荷q 所受的力。
例8、质量为m 、带电量为Q 的粒子放在离无限大导电板L 处．现释放该粒子，求它经过多长时间飞到板上．重力不计．
电像法求接地导体球与点电荷周围的电场
例9、半径R 的接地导体球外距离球心d 处有一点电荷q 1，求证其关于
2R x d
=
导体球的像电荷离球心的距离x 和电量q 2满足：21R q q d
=-，。