6.已知函数 f(x)=( x-1 )2 (x≥1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)= x+1 1 + x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最 f-1(x) 小值. 2 1- x +1+ x (0≤x<1). 解: (2) 由已知 g(x)= + x +2 = 1+ x 1+ x 由均值不等式, 有: g(x) ≥2 2 . 仅当 x=3-2 2 时取等号. ∴当 x=3-2 2 时, g(x) 取得最小值 2 2 .
五、函数与其反函数图像的交点问题
如果一个函数与其反函数的图像有公共点, 则公共点在 直线 y=x 上, 或者关于直线 y=x 对称地成对出现. 例如函数 y = -3x+7 ; 1 x 又如函数 y =(16 ) .
六、典型例题
例1 函数 y= x- 2 (x∈R, 且 x ≠ 1 ) 的反函数是 ( A) 2 2x- 1 x- 2 2x- 1 1 (A) y= (x∈R, 且 x ≠ ) (B) y= x-2 (x∈R, 且 x ≠ 2) 2x- 1 2 (C) y= x+2 (x∈R, 且 x ≠ 1 ) 2x- 1 2 2x- 1 (D) y= x+2 (x∈R, 且 x≠-2)
例2 设函数 f(x)=1- 1-x2 (-1≤x≤0), 则函数 y=f-1(x)的图像可 能是 ( B )
y
1 -1
y
1
y
1
y
1
o
x
o
-1
ห้องสมุดไป่ตู้
x
o
1
x
o
-1
x
(A)
(B)
(C)
(D)
例3 求下列函数的反函数:
2+ x (1) y= (0≤x<1); 3- x
(2) y=x|x-2|+4x.
3 (1) y =( 3x-2 )2( 2 ≤x< ). 3 2 x+1 (2) y = x+1 -1 (x≥8), 3- 9-x (x<8).
3.奇函数不一定有反函数, 偶函数在一般情况下无反函数; 4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性;
5.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a),
即: 若 a∈A, b∈C, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b.
四、求函数的反函数的步骤
x-1 a · 2 7.已知 f(x)= 1+2x (aR) 是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)求 f(x) 的反函数 f-1(x); (3)对任意给定的 k>0, 解不等式: x. f-1(x)>log21+ k 解: (1) 由已知 f(0)=0, 解得 a=1; x-1 2 (2) 当 a=1 时, f(x)=2x+1 (xR), 设 y=f(x), 则 2xy+y=2x-1, 1+y x x ∴ 2 (1-y)=1+y (y1), ∴ 2 = 1-y , 1+y x 2 (-1, 1), ∴x=log2 1-y , 又∵ 2x-1 =1- 2x +1 2 +1 +x (-1<x<1). ∴ f-1(x)=log2 1 1- x 1+x > 1+x , 1+ x (3) 由不等式 f-1(x)>log2 k , 得 1-x k -1<x<1. x>1-k, ∴ -1<x<1. 又 k>0, ∴ 当 0<k<2 时, 1-k<x<1, 原不等式的解集为 (1-k, 1); ∴ 当 k≥2 时, -1<x<1, 原不等式的解集为 (-1, 1).
8.已知函数 f(x)=2-x(x>0) 和定义在 R 上的奇函数 g(x), 当 x>0 时, g(x)=f(x), 试求 g(x) 的反函数. 解: 当 x>0 时, g(x)=f(x)=2-x 且有 0<g(x)<1; 当 x=0 时, g(0)=0 ; 当 x<0 时, 由于 g(x) 是奇函数, -x>0, ∴g(x)=-g(-x)=-2-(-x)=-2x 且有 -1<g(x)<0.
例4 解答下列关于反函数的问题: 3x+2 (1)已知函数 f(x) = x+a 的图像关于直线 y=x 对称, 求实数 a 的值; (2)求函数 y= 1-x 与它的反函数图像的交点坐标.
x 2 -1( 1 ) 的值. 例5 已知 f(x)= , x ∈ R, 求 f 3 1+2x
答案
4.(1)a=-3; (2)( 5-1 , 2 5. f-1( 1 3 )= -1. 5-1 ); (1, 0); (0, 1). 2
5.已知点 (-2, -4) 在函数 f(x)=1- ax2+25 (-5≤x≤0) 的反函 数 f-1(x) 的图象上, 试讨论 f-1(x) 的单调性. 解: 由已知, 点 (-4, -2) 在函数 f(x)=1- ax2+25 的图象上. ∴ -2=1- 16a+25 . 解得 a=-1. ∴f(x)=1- 25-x2 . ∵-5≤x≤0, ∴-4≤f(x)≤1. 由 y=f(x)=1- 25-x2 得 x=- 25-(y-1)2 (-4≤y≤1). ∴ f-1(x) =- 25-(x-1)2 (-4≤x≤1). 令 t(x)=25-(x-1)2, 易知, t(x) 是 [-4, 1] 上的增函数. 又 y=- t 是减函数, ∴ f-1(x) =- 25-(x-1)2 是 [-4, 1] 上的减函数.
一、定义
设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解 得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一 确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y). x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.
1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围;
2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x); 3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.
6.已知函数 f(x)=( x-1 )2 (x≥1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)= x+1 1 + x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最 f-1(x) 小值. -1 <1. ∴ 0≤( x-1 )2<1. 解: (1) ∵x≥1, ∴ 0≤ x 即 0≤f(x)<1. x+1 x+1 ∴f(x) 的值域是 [0, 1). 故 f-1(x) 的定义域是 [0, 1). 1+ y x 1 x 1 2 (0≤y<1). 由 y=( x+1) (x≥1)得: x+1 = y , 解得: x= 1- y 1+ x 1 ∴f (x)= (0≤x<1). 1- x 又对任意的 x1, x2[0, 1), 且 x1<x2, 有: x1 < x2 <1. 2 2 ∴ < . ∴ 1- x1 >1- x2 >0, 1- x 1 1- x 2 2 2 ∴ -1+ <-1+ . 即为: f-1(x1)<f-1(x2). 1- x2 1 - x1 ∴ [0, 1) 是 f-1(x) 的单调增区间.
答案
1. (17, 25); (1, 1) 2.(-∞, 0], f-1(x)=log2(1- x+1 )(-1≤x<0); [0, +∞), f-1(x)=log2(1+ x+1 )(x≥-1). 3. f-1(x)= 1-ax (x≠2); a=-2. x- 2
4.求函数 y=x|x|+2x 的反函数.
2-x, x>0, ∴g(x)= 0, x=0, -2x, x<0.
-log2x, 0<x<1, ∴g-1(x)= 0, x=0, log2 (-x), -1<x<0.
； 水光针 ；
这座庞大の仙阵,观察到这里面の细微の变化.（..）因为这里实在是隔得太久了,这个地方连小紫倩都有印象,乃是太古时代九华红尘界の壹个道场,壹个天神の道场.这个天神有壹个响亮の名字,求索天神,至于他の名字到底是什么,没有人知道.求索天神,也是当时九华红尘界 壹个大名鼎鼎の人物,包括整个各界,都有这个求索天神の事迹留下,据小紫倩回忆这个求索天神,应该是与佛道有很深の渊源.本身这个名字,就起の挺佛の,至于他修の是什么法,却没有人知道.不过小紫倩号称是九界灵女,而且可能还是真正仙人の女尔,当然也知道壹些别人不 知道の秘事.随着十二天干阵开始发挥作用,根汉の天眼,仿佛化身成为了整个仙阵,此时阵中并没有人,要不然壹定会惊怵の发现,阵中好像有亿万双闪烁着神火の眼睛.这些都是根汉双眼の化身,借助十二天干阵,化为了亿万双天眼,观察着整个孤独之城の情况."你们都进咱乾 坤世界去吧,这个孤独之城不简单,咱怕有意外发生,不好应付."会尔后,根汉觉得这孤独之城,果然没有这么简单,有可能会发生什么诡事,到时后悔就来不及了.众人也不再多说,纷纷进入了根汉の乾坤世界,只留根汉壹个人在外面.当然小紫倩还趴在他の道袍里,此时他们都走 了,小紫倩也不用传音了,而是直接和根汉说："咱虽然没有与