OD＝OF， DOC＝FOC， OC OC，
∴△ODC≌△OFC(SAS)． ∴∠OFC＝∠ODC＝90°. ∴OF⊥CF. ∴CF与⊙O相切．
方法总结：切线判定的方法①：已知直线与圆 有公共点时，需连接该公共点与圆心得半径， 证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂 直”．
◆类型二 无切点，作垂直，证半径
方法总结：切线判定的方法②：当题目中没有指 出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线 的垂线段，证明该线段的长等于圆半径，简称 “作垂直，证半径”．
解题技巧专题： 切线证明的常用方法
——弄清不同条件下的证明方式， 体会异同
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◆类型一 有切点，连半径，证垂直
一、利用角度转换证垂直 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， ∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝ ∠ABC.求证：DE与⊙O相切． 证明：如图，连接OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠A＋∠ABC＝90°.
证明：如图，连接OF，OC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°.
∵E为BC边的中点，AO＝DO，
∴AO＝ 1 AD，EC＝1 又AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形．
∴AE∥OC. ∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA. ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA. ∴∠DOC＝∠FOC. ∵在△ODC和△OFC中，
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点， AC与半圆O相切于点D.求证：AB是半圆O所在圆 的切线． 证明：如图，过点O作OE⊥AB于 点E，连接OD，OA. ∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D， ∴OD⊥AC. ∵OE⊥AB， ∴OE＝OD. ∴点O到直线AB的距离等于半圆O的半径． ∴AB是半圆O所在圆的切线．
∵AB＝BF，OA＝OD， ∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D. 又∵∠BFA＝∠OFD， ∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90°， 即∠OAB＝90°. ∴OA⊥AB. ∴AB是⊙O的切线．
二、利用勾股定理的逆定理证垂直 3．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线 上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是 ⊙O的切线． 证明：如图，连接OC. ∵⊙O的半径为3，PB＝2， ∴OC＝OB＝3. ∴OP＝OB＋PB＝5.
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A. ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠BOD＋∠AED＝90°. ∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE. ∴DE与⊙O相切．
2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆， 经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下 半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.若AB＝ BF，求证：AB是⊙O的切线． 证明：如图，连接OA，OD. ∵点D为CE的下半圆弧的中点， ∴∠EOD＝90°. ∴∠D＋∠OFD＝90°.
∵PC＝4， ∴OC2＋PC2＝OP2. ∴△OCP是直角三角形，∠OCP＝90°. ∴OC⊥PC. ∵C是⊙O上一点， ∴PC是⊙O的切线．
三、利用全等证垂直 4．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点， 连接AE，以AD为直径的⊙O交AE 于点F，连接CF. 求证：CF与⊙O相切．
思路分析：