直角三角形全等的判定与直角三角形的性质
【知识精要】
直角三角形全等的判定
1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ）
2、三角形全等的判定方法：S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

直角三角形中常用的辅助线
1、斜边的中线
2、斜边的高
3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。

【精解名题】
例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。

例2、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，DE 垂直平分BC 于点D ，EF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F 。

求证：AB=AC+2CF.
提示：联结EB 、EC ，作EG ⊥AB 于点G 。

例3、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF=2
1AB 。

求证：（1）DF=BE （2）DF ⊥BE
例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F .
求证：BF=BD
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。

求证：∠DCE=45°
例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：CM=2BM
提示：联结AM
例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。

求证：∠DCA=∠DBC
提示：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F
例8、如图，，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别为BC、AO的中点。

求证：MN 垂直平分DE。

提示：联结DM、EM、DN、EN
【巩固练习】
1、判断（错的用“×”表示，对的用“√”表示，如果正确，请说出判定方法）
（1）两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（），（）（2）一条直角边、一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等。

（），（）（3）一个锐角及斜边对影响等的两个直角三角形全等（），（）（4）一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等（），（）（5）如果一个直角三角形的两条边分别与另一个直角三角形的
两边相等，那么这两个直角三角形全等（），（）（1）√SAS （2）×（3）√AAS （4）√HL （5）×
2、如图，已知AD垂直平分BE于点C，AB=DE。

求证：AB//DE
3如图，在等腰△ABC中，AC=BC，过点C作直线l的，AD⊥l，BE⊥l于点E，且AD=CE。

求证：∠ACB=90°
4、如图，已知∠B=∠E=90°，AB=AE ，AF 垂直平分CD ，求证：BC=ED 。

提示：联结AC 、AD
5、如图，已知AD//BC ，AB ⊥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，求证：AD+BC=DC 。

提示：作EF ⊥DC 于点F
6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点，E 、F 分别是AC 、BC 延长线上的点，且CE=CF=
AB 2
1，求∠EMF 的度数。

答：45°，提示：联结MC
7、如图，已知AE、BD相交于点C，AB=AC，DC=DE,F、G、H分别是AD、BC、CE的中点，求证：FG=FH
提示：联结AG、DH
8、如图，已知AB=BC，AD=AC，AB⊥BC，△ABC与△ADC的面积相等，且AC//BD，求∠ADC 的度数。

答：75°，提示：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求BE的长与AC的长之比。

3:4
【拓展提高】
1、如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作直线l，B、C两点在AE的同侧，
BD⊥l于点D，CE⊥l于点E（BD＜CE）
（1）求证：BD+CE=DE
（2）若直线l绕点A旋转到图（2）的位置时（BD>CE），其余条件不变，问（1）中的结论成立吗？为什么？
（3）若直线l绕点A旋转到图（3）的位置时，（B、C两点在l的异侧），问（1）中的结论成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请指出BD、CE与DE三条线段的数量关系，并证明。

图（1）图（2）图（3）
（1）提示：由证明△ABD≌△CAE可得结论成立
（2）成立
（3）DE=|BD-EC| 证明略
2、如图<1>，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为一边向外作等边△ABD，AE⊥BD于点E，AE与CD交于点M
（1）线段DM与线段BC有怎样的数量关系？请证明；
（2）若△ABC与△ABD在AB的同侧时，CD的延长线与AE的延长线交于点M。

①请在图<2>中画出△ABD和点M；②线段DM和BC仍然有（1）中的数量关系吗？为什么？
图<1> 图<2>
答案：(1)BC=2DM 证明略(2)仍成立
【家庭作业】
1、填空
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，写出图中相等的锐角:____________。

（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，写出图形相等的线段：____________。

（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AD=6cm，则BC=_________cm
（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，则∠A=__________。

（5）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∠A=30°，BD=1，则AD=_____________。

图1 图2 图3
2、选择
（1）如果三角形的三个内角度数之比为1:2:3，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、不能确定
（2）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，D 是AB 的中点，有下列结论：①∠A=∠1；②∠2=∠3；③∠2=2∠A ；④∠B=2∠A ，其中正确的有（ ）个
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
（3）如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是AB 上的高，下列判断中，错误的是（ ）
A 、BC D
B 21= B 、B ∠=∠2
11 C 、BD AB 4= D 、AD=2CD （4）如图6，在Rt △ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，CH 是斜边AB 上的高，如果AH=HM ，那么图中的∠1、∠2、∠3、∠4中等于30°的角有（ ）
A 、∠1
B 、∠1和∠2
C 、∠1、∠2、∠3
D 、∠1、∠2、∠3、∠4
图4 图5 图6
3、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE 为AB 边上的中线，CD 为AB 边上的高，∠A=48°，求∠DCE 的度数。

4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，延长AC 到点E ，使CE=AD 。

求证：∠A=2∠E
5、如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥AB ，求证BD=2AC
6、如图，已知三角形ABC 是等边三角形，BC AD 2
1=
，AD CD ⊥，求证AD//BC
7、如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，DE 垂直平分BC ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，且DE=DA ，求证：AC=3AD
8、如图，在四边形ABCD 中∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点。

（1）求证：MN ⊥BD ；（2）若∠BAC=15°，AC=10㎝，OB=OM ，求MN 的长。

9、已知等腰三角形的顶角等于150°，腰长为6㎝，求腰上的高。

答案：1、（1）∠A=∠BCD ，∠B=∠ACD （2）AD=BD=CD （3）9 （4）60° （5）3
2、（1）C （2）A （3）D （4）D
3、6°
4、提示：联结CD
5、提示：取BD 中点E ，联结AE
6、略
7、提示：联结BD
8、（1）提示：联结BM 、DM （2）cm MN 2
5 9、3cm。